Verifique se o vetor u=2+2 x+4 x^2-x^3 é combinação linear dos vetores f1(x)=x, f2(x)=1-x, f3(x)=x^2 e f4(x)=1+x^3 no espaço vetorial das funções. (Dica: a mesma ideia da letra e).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x)=2 + 2x + 4x^2 - x^3
pertence ao subespaço gerado pelos vetores-função
f1(x)=x, f2(x)=1 - x, f3(x)=x^2, f4(x)=1 + x^3
no espaço vetorial das funções polinomiais de grau <=3. Para isso, vamos checar se existem escalares a,b,c,d tais que
a,f1(x) + b,f2(x) + c,f3(x) + d,f4(x) = u(x)

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e expandindo em potências de x:
a,x ;+; b,(1 - x) ;+; c,x^2 ;+; d,(1 + x^3) ;=;(b + d);+;(a - b),x;+;c,x^2;+;d,x^3

Passo 3

Comparando termo a termo com
u(x)=2 + 2x + 4x^2 - x^3,
obtemos o sistema de equações
b + d = 2, a - b = 2, c = 4, d = -1

Passo 4

Resolvendo o sistema:
de d = -1 segue b + (-1)=2 daí b=3;
de a - b=2 com b=3 a=5;
e já temos c=4.

Resposta

Sim. Os coeficientes são
a=5, b=3, c=4, d=-1,
ou seja
u(x)=5,f1(x) + 3,f2(x) + 4,f3(x) - 1cdot f4(x)

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