Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
(vii)
(vii)
Passo 1
O enunciado pede para verificar a independência linear do conjunto
no espaço . O conteúdo que usaremos é a definição de independência linear: dizemos que
é independente se a única combinação linear que produz a função zero é com todos os coeficientes iguais a zero.
no espaço
Passo 2
Primeiro note que
Logo basta analisar o conjunto .
Passo 3
Considere a combinação linear arbitrária
Queremos mostrar que disso decorre
.
Passo 4
Como
para todo
, podemos dividir a igualdade acima por
, obtendo
O primeiro termo
é constante, enquanto o segundo varia com
sempre que
ou
forem não nulos. Para que a soma seja a função constante zero, necessariamente temos
e então
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.