Verifique se o conjunto de funções B é linearmente dependente ou independente em C(R) nos seguintes casos:
(vii) B=e^2 t, e^3 t ( e^t cos 4 t ), e^3 t (e^t sen 4 t)

Passo 1

O enunciado pede para verificar a independência linear do conjunto

no espaço . O conteúdo que usaremos é a definição de independência linear: dizemos que é independente se a única combinação linear que produz a função zero é com todos os coeficientes iguais a zero.

Passo 2

Primeiro note que
Logo basta analisar o conjunto .

Passo 3

Considere a combinação linear arbitrária
Queremos mostrar que disso decorre .

Passo 4

Como para todo , podemos dividir a igualdade acima por , obtendo
O primeiro termo é constante, enquanto o segundo varia com sempre que ou forem não nulos. Para que a soma seja a função constante zero, necessariamente temos
e então .

Resposta

O conjunto B é linearmente independente.

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