Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y). Responda (justificando) T é bijetiva? T admite inversa? Encontre T^-1(x, y). Encontre [T]alpha^alpha.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-2y,;z,;x+y)
O objetivo é verificar se T é injetiva e sobrejetiva (logo bijetiva), achar sua inversa explícita e escrever a matriz de T na base canônica alpha=e1,e2,e3.

Passo 2

Para testar injetividade, calculamos o núcleo resolvendo
T(x,y,z)=(0,0,0)iff x-2y=0, z=0, x+y=0
Da segunda equação vem z=0. Das outras duas, x=2y e x=-y levam a 2y=-y, isto é y=0 e então x=0. Logo ker T=(0,0,0).

Passo 3

Como ker T é trivial, T é injetiva. E sendo domínio e contradomínio ambos R^3, injetividade implica sobrejetividade. Concluímos que T é bijetiva e, portanto, admite inversa linear T^-1:R^3toR^3.

Passo 4

Para achar
Daqui . E do sistema
subtraindo obtemos , e então
Portanto

Passo 5

Na base canônica alpha, calculamos as imagens dos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
T(e1)=(1,0,1), T(e2)=(-2,0,1), T(e3)=(0,1,0)
A matriz [T]alpha^alpha tem essas imagens como colunas:
[T]alpha^alpha = 1 & -2 & 0 0 & ;;0 & 1 1 & ;;1 & 0

Resposta

T é bijetiva e admite inversa.
T^-1(u,v,w) =l(tfracu+2w3,;tfracw-u3,;vr)
[T]alpha^alpha = 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 1 & 1 & 0

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