Seja dada por . Responda (justificando) T é bijetiva? T admite inversa? Encontre . Encontre .
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
O objetivo é verificar se é injetiva e sobrejetiva (logo bijetiva), achar sua inversa explícita e escrever a matriz de na base canônica .
Passo 2
Para testar injetividade, calculamos o núcleo resolvendo
Da segunda equação vem z=0. Das outras duas, x=2y e x=-y levam a 2y=-y, isto é y=0 e então x=0. Logo ker T=(0,0,0).
Passo 3
Como ker T é trivial, T é injetiva. E sendo domínio e contradomínio ambos R^3, injetividade implica sobrejetividade. Concluímos que T é bijetiva e, portanto, admite inversa linear T^-1:R^3toR^3.
Passo 4
Para achar
Daqui . E do sistema
subtraindo obtemos , e então
Portanto
Passo 5
Na base canônica alpha, calculamos as imagens dos vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1):
T(e1)=(1,0,1), T(e2)=(-2,0,1), T(e3)=(0,1,0)
A matriz [T]alpha^alpha tem essas imagens como colunas: