Sejam V=Pn(R) e T a transformação que leva o polinômio p(t) in V, na sua derivada segunda. Será que T é uma transformação linear?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = Pn(R), polinômios de grau <= n, e a aplicação
Tcolon V to V, T(p) = p''
que leva cada polinômio à sua segunda derivada. O conteúdo é transformação linear e precisamos verificar se T satisfaz a definição de linearidade.

Passo 2

Primeiro certificamo-nos de que T realmente manda elementos de V em V. Se pin Pn(R), então deg(p)<= n e deg(p'')<= n-2, portanto p''in Pn(R). Logo, T está bem definida como aplicação de V em V.

Passo 3

Recordando a definição: uma transformação Tcolon Vto V é linear se, para todos p,qin V e escalares alpha,betainR, vale
T(alpha p + beta q) ;=;alpha,T(p) + beta,T(q)

Passo 4

Aplicamos isso a T. Para quaisquer p,qin V e alpha,betainR,
T(alpha p + beta q) = (alpha p + beta q)'' = alpha,p'' + beta,q'' = alpha,T(p) + beta,T(q)
Aqui usamos a propriedade de que a derivação é um operador linear.

Passo 5

Como T preserva soma e multiplicação por escalar e está bem definida em V, concluímos que é de fato uma transformação linear.

Resposta

Sim. T é linear porque l(alpha p+beta qr)''=alpha,p''+beta,q''.

Exercícios relacionados