Sejam
e
a transformação que leva o polinômio
, na sua derivada segunda. Será que
é uma transformação linear?
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
, polinômios de grau
, e a aplicação
que leva cada polinômio à sua segunda derivada. O conteúdo é transformação linear e precisamos verificar se
satisfaz a definição de linearidade.
Passo 2
Primeiro certificamo-nos de que
realmente manda elementos de
em
. Se
, então
e
, portanto
. Logo,
está bem definida como aplicação de
em
.
Passo 3
Recordando a definição: uma transformação
é linear se, para todos
e escalares
, vale
Passo 4
Aplicamos isso a
. Para quaisquer
e
,
Aqui usamos a propriedade de que a derivação é um operador linear.
Passo 5
Como
preserva soma e multiplicação por escalar e está bem definida em
, concluímos que é de fato uma transformação linear.
Resposta
Sim.
é linear porque
.