Seja V um espaço vetorial com produto interno lang<=cdot, cdotrang<=. Seja U um espaço vetorial. Seja T: U V uma transformação linear injetora. Mostre que lang<= x, yrang<=U:=lang<= T(x), T(y)rang<=V é um produto interno sobre U. Conclua que qualquer espaço vetorial com dimensão finita possui um produto interno. Sugestão: Crie um isomorfismo entre um espaço vetorial de dimensão n in R^n.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<=V, um espaço vetorial U e uma transformação linear injetora Tcolon Uto V. Definimos em U o candidato a produto interno
lang<= x,yrang<=U:=lang<= T(x),T(y)rang<=V
O que precisamos mostrar é que esse lang<=cdot,cdotrang<=U satisfaz as três propriedades de produto interno (simetria, bilinearidade e positividade definida). Em seguida, usaremos esse mesmo truque para concluir que todo espaço vetorial de dimensão finita admite produto interno, criando um isomorfismo para R^n com o produto escalar usual.

Passo 2

Simetria. Para quaisquer x,yin U vale
lang<= x,yrang<=U =lang<= T(x),T(y)rang<=V =lang<= T(y),T(x)rang<=V =lang<= y,xrang<=U,
pois lang<=cdot,cdotrang<=V é simétrico.

Passo 3

Bilinearidade. Seja alphainR (ou no corpo base) e x,x',yin U. Então
lang<= alpha x + x',,yrang<=U =lang<= T(alpha x + x'),,T(y)rang<=V =lang<= alpha T(x) + T(x'),,T(y)rang<=V =alpha,lang<= T(x),T(y)rang<=V+lang<= T(x'),T(y)rang<=V
=alpha,lang<= x,yrang<=U + lang<= x',yrang<=U
Analogamente verifica-se linearidade na segunda coordenada (ou conjugada-linear no caso complexo).

Passo 4

Positividade definida. Para qualquer xin U temos
lang<= x,xrang<=U =lang<= T(x),T(x)rang<=V>= 0,
e além disso lang<= x,xrang<=U=0 implica lang<= T(x),T(x)rang<=V=0, logo T(x)=0. Como T é injetora, isto força x=0. Logo lang<=cdot,cdotrang<=U é positivamente definida.

Passo 5

Concluímos, pois, que lang<=cdot,cdotrang<=U é um produto interno em U.
Para um espaço vetorial W de dimensão finita n, basta escolher uma base e1,dots,en e definir
phicolon WtoR^n, phil(sumi=1^nxieir)=(x1,dots,xn)
Então phi é um isomorfismo linear, e definindo em W
lang<= u,vrang<=W :=phi(u)cdotphi(v) =sumi=1^nxiyi,
obtém-se exatamente o pull-back do produto escalar padrão de R^n. Pelo que já provamos, isso é um produto interno em W.

Resposta

O form ou lang<= x,yrang<=U=lang<= T(x),T(y)rang<=V satisfaz as propriedades de simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em U. Em particular, todo espaço vetorial de dimensão finita admite produto interno, basta escolher um isomorfismo para R^n e puxar o produto escalar usual.

Exercícios relacionados