Seja
um espaço vetorial com produto interno
. Seja
um espaço vetorial. Seja
uma transformação linear injetora. Mostre que
é um produto interno sobre
. Conclua que qualquer espaço vetorial com dimensão finita possui um produto interno. Sugestão: Crie um isomorfismo entre um espaço vetorial de dimensão
.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial
com produto interno
, um espaço vetorial
e uma transformação linear injetora
. Definimos em
o candidato a produto interno
O que precisamos mostrar é que esse
satisfaz as três propriedades de produto interno (simetria, bilinearidade e positividade definida). Em seguida, usaremos esse mesmo truque para concluir que todo espaço vetorial de dimensão finita admite produto interno, criando um isomorfismo para
com o produto escalar usual.
Passo 2
Simetria. Para quaisquer
vale
pois
é simétrico.
Passo 3
Bilinearidade. Seja
(ou no corpo base) e
. Então
Analogamente verifica-se linearidade na segunda coordenada (ou conjugada-linear no caso complexo).
Passo 4
Positividade definida. Para qualquer
temos
e além disso
implica
, logo
. Como
é injetora, isto força
. Logo
é positivamente definida.
Passo 5
Concluímos, pois, que
é um produto interno em
.
Para um espaço vetorial
de dimensão finita
, basta escolher uma base
e definir
Então
é um isomorfismo linear, e definindo em
obtém-se exatamente o pull-back do produto escalar padrão de
. Pelo que já provamos, isso é um produto interno em
.
Resposta
O form ou
satisfaz as propriedades de simetria, bilinearidade e positividade definida, logo é um produto interno em
. Em particular, todo espaço vetorial de dimensão finita admite produto interno, basta escolher um isomorfismo para
e puxar o produto escalar usual.