Seja
um espaço vetorial com dimensão finita. Seja
. Seja
um produto interno sobre
. Sejam
. Mostre que existe exatamente um vetor
tal que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial real de dimensão finita
com produto interno
e base
, dado um vetor de escalares
, existe exatamente um
tal que
para todo
.
O que vamos usar é a escrita de na base
e o fato de que o sistema linear obtido a partir dos produtors internos tem matriz de Gram invertível.
O que vamos usar é a escrita de
Passo 2
Escrevemos
com coeficientes reais
. Então, para cada
,
deve ser igual a
.
Passo 3
O sistema anterior pode ser escrito em forma matricial. Definimos a matriz de Gram
o vetor dos coeficientes
e o vetor .
Então o sistema fica
e o vetor
Então o sistema fica
Passo 4
Como
é uma base, esses vetores são linearmente independentes. Isso implica que a forma bilinear
é não degenerada em
, logo a matriz de Gram
é simétrica e positiva definida, portanto invertível.
Passo 5
Pelo item anterior, o sistema
tem solução única
Com esses coeficientes
obtemos exatamente um vetor
que satisfaz
para todo
.
Resposta
Existe exatamente um vetor
tal que
para
, dado por
onde
é a matriz de Gram
.