Seja V um espaço vetorial com dimensão finita. Seja beta=v1, v2, ldots, vn. Seja lang<=cdot, cdotrang<= um produto interno sobre V. Sejam lambda1, lambda2, ldots, lambdan in R. Mostre que existe exatamente um vetor v in V tal que lang<= v, virang<==lambdai, para todo i=1,2, ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial real de dimensão finita V com produto interno lang<=cdot,cdotrang<= e base beta=v1,dots,vn, dado um vetor de escalares (lambda1,dots,lambdan), existe exatamente um vin V tal que
lang<= v,virang<==lambdai para todo i=1,dots,n.
O que vamos usar é a escrita de v na base beta e o fato de que o sistema linear obtido a partir dos produtors internos tem matriz de Gram invertível.

Passo 2

Escrevemos
v = sumj=1^n aj,vj
com coeficientes reais a1,dots,an. Então, para cada i=1,dots,n,
lang<= v,virang<= = lang<= sumj=1^n aj vj,;virang<= = sumj=1^n aj,lang<= vj,virang<=
deve ser igual a lambdai.

Passo 3

O sistema anterior pode ser escrito em forma matricial. Definimos a matriz de Gram
G = (gij)i,j=1^n, gij = lang<= vj, virang<=,
o vetor dos coeficientes
a=(a1,dots,an)^T
e o vetor lambda=(lambda1,dots,lambdan)^T.
Então o sistema fica
G,a = lambda

Passo 4

Como v1,dots,vn é uma base, esses vetores são linearmente independentes. Isso implica que a forma bilinear (x,y)mapstolang<= x,yrang<= é não degenerada em beta, logo a matriz de Gram G é simétrica e positiva definida, portanto invertível.

Passo 5

Pelo item anterior, o sistema G,a=lambda tem solução única
a = G^-1,lambda
Com esses coeficientes aj obtemos exatamente um vetor
v = sumj=1^n aj,vj
que satisfaz lang<= v,virang<==lambdai para todo i.

Resposta

Existe exatamente um vetor vin V tal que lang<= v,virang<==lambdai para i=1,dots,n, dado por
v ;=; sumj=1^n l(G^-1lambdar)j,vj,
onde G é a matriz de Gram Gij=lang<= vj,virang<=.

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