No passado, determinada máquina produziu arruelas de espessura média de 0,05 cm. A fim de verificar se a máquina ainda está em boas condições, toma-se uma amostra de 10 arruelas, cuja espessura média é de 0,053 cm., com desvio padrão de 0,003 cm. Teste a hipótese de que a máquina ainda está em boas condições, utilizando um nível de significância de 0,01 .

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é testar se a máquina continua produzindo arruelas com espessura média de 0,05 cm. A matéria é Teste de Hipóteses para a média quando o desvio‐padrão populacional é desconhecido (ou seja, usamos o t‐teste). Para resolver, a gente vai precisar de:
  • Hipóteses (H₀ e H₁)
  • Estatística de teste (t)
  • Valor crítico ou p‐valor
  • Nível de significância (α = 0,01)
  • Fórmulas do t‐teste:
    t = (x̄ – μ₀) / (s / √n)

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: μ = 0,05 cm (a máquina está OK)
H₁: μ ≠ 0,05 cm (mudou a espessura)
Isso é um teste bilateral, porque a gente só quer saber se mudou (pra mais ou pra menos).

Passo 3

Agora calculamos a estatística de teste t. Lembra da fórmula?
t ;=; bar x - mu0s / raizn
Substituindo:
bar x = 0,053, mu0 = 0,05, s = 0,003, n = 10
t ;=; 0,053 - 0,050,003 / raiz10 ;=; 0,0030,003 / 3,1623 ;=; 0,0030,0009487 ;approx; 3,16

Passo 4

Graus de liberdade = n – 1 = 9.
Como é teste bilateral com α = 0,01, cada cauda fica com 0,005.
O valor crítico t₀,₀₀₅(9) é cerca de 3,25.
  • Se |t| > 3,25, rejeita H₀
  • Se |t| ≤ 3,25, não rejeita H₀
Aqui |3,16| ≈ 3,16 < 3,25, então não entramos na região crítica.
Alternativamente, o p‐valor para t = 3,16 e gl = 9 fica em torno de 0,012, que é maior que 0,01.

Passo 5

Como |t| não ultrapassou o t crítico (e o p‐valor > α), a gente não rejeita a hipótese nula.

Resposta

Não há evidência suficiente, a 1% de significância, para dizer que a espessura média mudou. Logo, a máquina ainda está em boas condições.

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