Seja o espaço vetorial real V=\{(x, y) ; x, y \in R\} com as operações definidas, como:
  • Adição: \left(x_{1}, y_{1}\right) \oplus\left(x_{2}, y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+3, y_{1}+y_{2}\right)
  • Multiplicação por escalar: \alpha \otimes(x, y)=(\alpha x+3(\alpha-1), \alpha y) para \alpha \in R
    a) Exiba o vetor nulo do espaço vetorial V
    b) Determine o inverso aditivo do vetor \mathrm{v}=(\mathrm{a}, \mathrm{b}) em V
    c) Determine os números reais c e d para os quais, a equação (c+2) \otimes(3,2)=(21, d) seja satisfeita em V
    d) Verifique se o conjunto W=\{(x, y) \in V ; \quad x=-3\} é um subespaço vetorial de V

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial real V=\{(x,y)\mid x,y\in\mathbb{R}\} com operações não usuais \;(x_{1},y_{1})\oplus(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2}+3,\;y_{1}+y_{2}) \;\alpha\otimes(x,y)=(\alpha x+3(\alpha-1),\;\alpha y).
Pede:
a) vetor nulo de V,
b) inverso aditivo de v=(a,b),
c) valores de c,d tais que (c+2)\otimes(3,2)=(21,d),
d) verificar se W=\{(x,y)\in V\mid x=-3\} é subespaço de V.

Passo 2

Para achar o vetor nulo e=(e_{x},e_{y}) em V resolve-se
e\oplus(x,y)=(e_{x}+x+3,\;e_{y}+y)\stackrel{!}{=}(x,y)\quad\forall\,(x,y).
Comparando coordenadas: e_{x}+x+3=x\implies e_{x}=-3, e_{y}+y=y\implies e_{y}=0.
Logo o vetor nulo é (-3,0).

Passo 3

Para o inverso aditivo de v=(a,b) procuramos w=(u,v_{y}) tal que
(a,b)\oplus(u,v_{y})=(a+u+3,\;b+v_{y})=(-3,0).
Da primeira coordenada: a+u+3=-3\implies u=-6-a.
Da segunda: b+v_{y}=0\implies v_{y}=-b.
Logo o inverso de (a,b) é \bigl(-a-6,\,-b\bigr).

Passo 4

Queremos (c+2)\otimes(3,2)=(21,d). Seja \alpha=c+2. Então
\alpha\otimes(3,2)=(3\alpha+3(\alpha-1),\;2\alpha)=(6\alpha-3,\;2\alpha).
Igualando a (21,d): 6\alpha-3=21\implies6\alpha=24\implies\alpha=4,
logo c+2=4\implies c=2.
E d=2\alpha=2\cdot4=8.

Passo 5

Verificar se W=\{(x,y)\mid x=-3\} é subespaço de V:
  1. O vetor nulo (-3,0) pertence a W (tem x=-3).
  2. Fechamento em \oplus: se (\\ -3,y_{1}) e (-3,y_{2}) estão em W então
(-3,y_{1})\oplus(-3,y_{2})=(-3-3+3,\;y_{1}+y_{2})=(-3,\;y_{1}+y_{2})\in W.
  1. Fechamento em \otimes: para (\\ -3,y)\in W e \alpha\in\mathbb{R},
\alpha\otimes(-3,y)=(-3\alpha+3(\alpha-1),\;\alpha y)=(-3,\;\alpha y)\in W.
Portanto W é subespaço de V.

Resposta

a) O vetor nulo é (-3,0).
b) O inverso aditivo de (a,b) é \bigl(-a-6,\,-b\bigr).
c) c=2 e d=8.
d) Sim, W é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados