Seja o espaço vetorial real
com as operações definidas, como:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
,
para
a) Exiba o vetor nulo do espaço vetorial V
b) Determine o inverso aditivo do vetor
em V
c) Determine os números reais c
para os quais, a equação
seja satisfeita em V
d) Verifique se o conjunto
é um subespaço vetorial de V
a) Exiba o vetor nulo do espaço vetorial V
b) Determine o inverso aditivo do vetor
c) Determine os números reais c
d) Verifique se o conjunto
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial real
com operações não usuais
.
Pede:
a) vetor nulo de ,
b) inverso aditivo de ,
c) valores de tais que
,
d) verificar se é subespaço de
.
Pede:
a) vetor nulo de
b) inverso aditivo de
c) valores de
d) verificar se
Passo 2
Para achar o vetor nulo
em
resolve-se
Comparando coordenadas:
,
.
Logo o vetor nulo é .
Logo o vetor nulo é
Passo 3
Para o inverso aditivo de
procuramos
tal que
Da primeira coordenada:
.
Da segunda: .
Logo o inverso de é
.
Da segunda:
Logo o inverso de
Passo 4
Queremos
. Seja
. Então
Igualando a
:
,
logo .
E .
logo
E
Passo 5
Verificar se
é subespaço de
:
- O vetor nulo
pertence a (tem ). - Fechamento em
: se e estão em então
- Fechamento em
: para e ,
Portanto
é subespaço de
.
Resposta
a) O vetor nulo é
.
b) O inverso aditivo de é
.
c) e
.
d) Sim, é subespaço vetorial de
.
b) O inverso aditivo de
c)
d) Sim,