6 Seja o espaço das matrizes sobre e seja o subespaço gerado por: .
Encontre uma base e a dimensão de W.
Passo 1
O enunciado define o espaço M(2) das matrizes 2times2 reais (dimensão 4) e o subespaço W gerado por quatro matrizes. Para encontrar uma base e a dimensão de W, vamos representar cada matriz como um vetor em R^4 e usar eliminação de Gauss para achar o posto (rank).
Passo 2
Representamos cada matriz
por
Assim, os geradores viram os vetores
Passo 3
Formamos a matriz cujas linhas são v1,v2,v3,v4 e aplicamos eliminação de Gauss:
O fato de o posto ser 3 indica que há uma dependência linear entre os quatro vetores. De fato,
v3 = v1 + v2,
pois (4,5,3,1) = (3,4,0,-1) + (1,1,3,2).
Logo podemos eliminar v3 sem perder geração.
Passo 5
Verifica-se que os vetores v1,v2,v4 são linearmente independentes (nenhum deles é combinação dos outros dois). Portanto uma base de W é dada pelas matrizes correspondentes a esses vetores, e a dimensão de W é 3.