6 Seja M(2) o espaço das matrizes 2 times 2 sobre R e seja W o subespaço gerado por: (cc3 & 4 0 & -1),(ll1 & 1 3 & 2),(ll4 & 5 3 & 1) e(cc0 & 3 2 & -1).
Encontre uma base e a dimensão de W.

Passo 1

O enunciado define o espaço M(2) das matrizes 2times2 reais (dimensão 4) e o subespaço W gerado por quatro matrizes. Para encontrar uma base e a dimensão de W, vamos representar cada matriz como um vetor em R^4 e usar eliminação de Gauss para achar o posto (rank).

Passo 2

Representamos cada matriz

por
Assim, os geradores viram os vetores

Passo 3

Formamos a matriz cujas linhas são v1,v2,v3,v4 e aplicamos eliminação de Gauss:
3 & 4 & 0 & -1 1 & 1 & 3 & 2 4 & 5 & 3 & 1 0 & 3 & 2 & -1 ;longrightarrow; 1 & 1 & 3 & 2 0 & 1 & -9 & -7 0 & 0 & 29 & 20 0 & 0 & 0 & 0
Como há 3 pivôs não nulos, o posto é 3.

Passo 4

O fato de o posto ser 3 indica que há uma dependência linear entre os quatro vetores. De fato,
v3 = v1 + v2,
pois
(4,5,3,1) = (3,4,0,-1) + (1,1,3,2).
Logo podemos eliminar v3 sem perder geração.

Passo 5

Verifica-se que os vetores v1,v2,v4 são linearmente independentes (nenhum deles é combinação dos outros dois). Portanto uma base de W é dada pelas matrizes correspondentes a esses vetores, e a dimensão de W é 3.

Resposta

Uma base de W é
3 & 40 & -1,, 1 & 13 & 2,, 0 & 32 & -1
e dim W = 3.

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