Considerando o vetor \vec{v}=(2,-1,6), então o módulo de \vec{v} determine
a) o módulo de \vec{v};
b) versor de \vec{v};
c) Prove que o vetor encontrado no item b) é um versor.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(2,-1,6) em \mathbb{R}^3 e pede:
a) o módulo de \vec{v}, b) o versor (vetor unitário) de \vec{v} e c) provar que o vetor do item b) tem norma igual a 1.
Para isso, vamos usar a definição de norma euclidiana
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}
e a normalização de vetores, que diz que o versor de \vec{v} é
\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Calculamos primeiro a norma de \vec{v}. Aplicando
\|\vec{v}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 6^2}
temos
\|\vec{v}\| = \sqrt{4 + 1 + 36} = \sqrt{41}.

Passo 3

O versor de \vec{v} é dado por
\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \Bigl(\frac{2}{\sqrt{41}}, \; \frac{-1}{\sqrt{41}}, \; \frac{6}{\sqrt{41}}\Bigr).

Passo 4

Para provar que \hat{v} é de fato um versor, basta mostrar que sua norma vale 1:
\|\hat{v}\| = \sqrt{\Bigl(\frac{2}{\sqrt{41}}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{-1}{\sqrt{41}}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{6}{\sqrt{41}}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{4 + 1 + 36}{41}} = \sqrt{\frac{41}{41}} = 1.
Logo \hat{v} tem norma unitária, isto é, é um versor.

Resposta

a) \|\vec{v}\| = \sqrt{41}.
b) \displaystyle \hat{v} = \Bigl(\frac{2}{\sqrt{41}},\,\frac{-1}{\sqrt{41}},\,\frac{6}{\sqrt{41}}\Bigr).
c) Como mostramos, \|\hat{v}\|=1, portanto \hat{v} é um versor.

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