Seja um espaço vetorial sobre de dimensão 3 com um produto interno. Suponha que seja uma base ortonormal ordenada deste espaço. Seja uma transformação linear cuja matriz em relação à base ortonormal ordenada é dada por
(1 ponto) a) Escreva o polinômio característico de F e determine os auto-valores de F.
(1 ponto) b) Para cada auto-valor de F, determine os auto-vetores associados.
(0,5 ponto) c) A transformação linear F é diagonalizável? Justifique.
Passo 1
O enunciado trabalha com um espaço vetorial real V de dimensão 3, dotado de um produto interno, e numa base ortonormal B a transformação linear F tem matriz
FB= 3 & 1 & 0 0 & 3 & 0 0 & 0 & 2
O que se pede é:
a) o polinômio característico de F e seus autovalores;
b) os autovetores associados a cada autovalor;
c) verificar se F é diagonalizável.
Passo 2
Para achar o polinômio característico usamos
chiF(lambda)=detl(FB - lambda Ir)
Como FB é triangular, o determinante é o produto das entradas da diagonal de FB - lambda I, ou seja
Logo os autovalores são lambda=3 (com multiplicidade algébrica 2) e lambda=2 (com multiplicidade algébrica 1).
Passo 3
Para resolvemos
As equações dão e , ficando livre. Portanto o espaço próprio de é
Passo 4
Para resolvemos
o que impõe e então , ficando livre. Assim
Passo 5
A diagonalizabilidade exige que a soma das dimensões dos espaços próprios seja 3. Aqui dim E3=1 e dim E2=1, totalizando 2, que é menor que 3. Logo Fnão é diagonalizável.
Resposta
a) chiF(lambda)=(lambda-3)^2(lambda-2); autovalores lambda=3 e lambda=2.
b) Para lambda=3, autovetores span(1,0,0); para lambda=2, autovetores span(0,0,1).
c) Não é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos espaços próprios é 2, menor que dim V=3.