1. Seja V um espaço vetorial sobre R. Sejam lang<=cdot, cdotrang<=1,lang<=cdot, cdotrang<=2 dois produtos internos sobre V. Defina lang<=cdot, cdotrang<=3=lang<=cdot, cdotrang<=1+lang<=cdot, cdotrang<=2 e lang<=cdot, cdotrang<=4=lambdalang<=cdot, cdotrang<=1, onde lambda>0. Prove que lang<=cdot, cdotrang<=3 e lang<=cdot, cdotrang<=4 são produtos internos sobre V. Agora, lang<=cdot, cdotrang<=5=lang<=cdot, cdotrang<=1-lang<=cdot, cdotrang<=2 define um produto interno sobre V ?

Passo 1

O espaço V é sobre R e temos dois produtos internos lang<=cdot,cdotrang<=1 e lang<=cdot,cdotrang<=2. Para mostrar que lang<=cdot,cdotrang<=3=lang<=cdot,cdotrang<=1+lang<=cdot,cdotrang<=2 e lang<=cdot,cdotrang<=4=lambdalang<=cdot,cdotrang<=1 são produtos internos, precisamos verificar, em cada caso, as três propriedades:
  1. bilinearidade em cada argumento;
  2. simetria;
  3. positividade definida.

Passo 2

Verificação de bilinearidade e simetria de lang<=cdot,cdotrang<=3:
Para todos u,v,win V e alphainR temos
lang<= u+v,,wrang<=3 =lang<= u+v,,wrang<=1+lang<= u+v,,wrang<=2 =lang<= u,,wrang<=1+lang<= v,,wrang<=1+lang<= u,,wrang<=2+lang<= v,,wrang<=2 =lang<= u,,wrang<=3+lang<= v,,wrang<=3,
lang<= alpha u,,vrang<=3 =alphalang<= u,,vrang<=1+alphalang<= u,,vrang<=2 =alphalang<= u,,vrang<=3
E como cada lang<=cdot,cdotrang<=i é simétrico,
lang<= v,,urang<=3 =lang<= v,,urang<=1+lang<= v,,urang<=2 =lang<= u,,vrang<=1+lang<= u,,vrang<=2 =lang<= u,,vrang<=3

Passo 3

Positividade definida de lang<=cdot,cdotrang<=3:
Para todo vin V
lang<= v,,vrang<=3 =lang<= v,,vrang<=1+lang<= v,,vrang<=2>= 0
e essa soma só é zero se lang<= v,vrang<=1=0 e lang<= v,vrang<=2=0, ou seja, somente se v=0. Logo lang<=cdot,cdotrang<=3 é positivo-definido.

Passo 4

Verificação de lang<=cdot,cdotrang<=4=lambdalang<=cdot,cdotrang<=1 com lambda>0:
Bilinearidade e simetria seguem diretamente de lang<=cdot,cdotrang<=1. Para positividade:
lang<= v,,vrang<=4 =lambda,lang<= v,,vrang<=1>0
sempre que vneq0, pois lambda>0 e lang<= v,vrang<=1>0. Portanto lang<=cdot,cdotrang<=4 é produto interno.

Passo 5

Análise de lang<=cdot,cdotrang<=5=lang<=cdot,cdotrang<=1-lang<=cdot,cdotrang<=2:
Bilinearidade e simetria continuam válidas pela propriedade de cada termo, mas a positividade falha em geral. Por exemplo, em V=R defina
lang<= x,yrang<=1=x,y e lang<= x,yrang<=2=2,x,y. Então
lang<= x,,xrang<=5 =x^2-2,x^2=-x^2,
que é negativo para xneq0. Isso impede lang<=cdot,cdotrang<=5 de ser positivo-definido.

Resposta

lang<=cdot,cdotrang<=3 e lang<=cdot,cdotrang<=4 satisfazem todos os axiomas de produto interno em V.
Em geral lang<=cdot,cdotrang<=5 não define produto interno, pois deixa de ser positivo-definido.

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