- Seja
um espaço vetorial sobre
. Sejam
dois produtos internos sobre
. Defina
e
, onde
. Prove que
e
são produtos internos sobre
. Agora,
define um produto interno sobre
?
Passo 1
O espaço
é sobre
e temos dois produtos internos
e
. Para mostrar que
e
são produtos internos, precisamos verificar, em cada caso, as três propriedades:
- bilinearidade em cada argumento;
- simetria;
- positividade definida.
Passo 2
Verificação de bilinearidade e simetria de
:
Para todos e
temos
Para todos
E como cada
é simétrico,
Passo 3
Positividade definida de
:
Para todo
Para todo
e essa soma só é zero se
e
, ou seja, somente se
. Logo
é positivo-definido.
Passo 4
Verificação de
com
:
Bilinearidade e simetria seguem diretamente de . Para positividade:
Bilinearidade e simetria seguem diretamente de
sempre que
, pois
e
. Portanto
é produto interno.
Passo 5
Análise de
:
Bilinearidade e simetria continuam válidas pela propriedade de cada termo, mas a positividade falha em geral. Por exemplo, em defina
e
. Então
Bilinearidade e simetria continuam válidas pela propriedade de cada termo, mas a positividade falha em geral. Por exemplo, em
que é negativo para
. Isso impede
de ser positivo-definido.
Resposta
Em geral