Seja lang<=cdot, cdotrang<= o produto interno canônico de R^2.
Mostre que para qualquer vetor v in R^2, temos v=lang<= v,(1,0)rang<=(1,0)+lang<= v,(0,1)rang<=(0,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no espaço R^2 com o produto interno canônico
lang<= (x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2,
qualquer vetor v pode ser escrito como combinação dos vetores padrão
(1,0) e (0,1), cujos coeficientes são justamente os produtos internos lang<= v,(1,0)rang<= e lang<= v,(0,1)rang<=. Vamos usar a ideia de base ortonormal e cálculo direto de componentes.

Passo 2

Seja v=(v1,v2). Então, pelo produto interno canônico, temos
lang<= v,(1,0)rang<= = v1cdot1 + v2cdot0 = v1,
lang<= v,(0,1)rang<= = v1cdot0 + v2cdot1 = v2

Passo 3

Agora formamos a combinação
lang<= v,(1,0)rang<=,(1,0) + lang<= v,(0,1)rang<=,(0,1) = v1,(1,0) + v2,(0,1)
Ao realizar a soma de vetores, obtemos
v1,(1,0) + v2,(0,1) = (v1,0) + (0,v2) = (v1,v2) = v
Isso mostra exatamente a identidade desejada.

Resposta

v = lang<= v,(1,0)rang<=,(1,0) ;+; lang<= v,(0,1)rang<=,(0,1)

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