Considere a matriz
A=[ccc 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2 ]
Encontre os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a matriz
A= 0 & 7 & -6 -1 & 4 & 0 0 & 2 & -2
e queremos encontrar, para cada autovalor lambda, um vetor não-nulo x tal que
(A-lambda I)x=0
Para isso, primeiro vamos achar os autovalores resolvendo det(A-lambda I)=0 e depois, para cada lambda, resolver o sistema homogêneo.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico. Primeiro escrevemos
A-lambda I = -lambda & 7 & -6 -1 & 4-lambda & 0 0 & 2 & -2-lambda
Sua determinante é
det(A-lambda I) =-lambdadet4-lambda&02&-2-lambda -(-1)det7&-62&-2-lambda
Calculando cada menor e simplificando, obtemos
-lambdal((4-lambda)(-2-lambda)r) +l(7(-2-lambda)-(-6)cdot2r) =-lambda^3+2lambda^2+lambda-2
Multiplicando por -1, vem
lambda^3-2lambda^2-lambda+2=(lambda-2)(lambda^2-1) =(lambda-2)(lambda-1)(lambda+1)
Logo os autovalores são
lambda1=2, lambda2=1, lambda3=-1

Passo 3

Para
o que gera o sistema
Da segunda equação . Tomando temos e . Assim um autovetor para é

Passo 4

Para
o que dá
Da segunda equação . Para evitar frações escolhemos , daí , . Um autovetor para é

Passo 5

Para
o que gera
Da segunda equação . Tomando obtemos , . Um autovetor para é

Resposta

Autovalores e vetores associados:
lambda=2: v=421, lambda=1: v=932, lambda=-1: v=512

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