Seja W=(x+z, x-z, y-z): x, y, z in R subset R^3 um espaço vetorial.
Usando o item anterior extraia uma base para o espaço vetorial W.

Passo 1

O enunciado define
W = (x+z,;x-z,;y-z)mid x,y,zinRsubsetR^3
e pede uma base de W. É um problema de subespaço vetorial em que vamos reescrever o vetor genérico em função dos parâmetros x,y,z e, a partir daí, identificar vetores que geram W.

Passo 2

Escrevendo o vetor (x+z,x-z,y-z) como combinação linear dos parâmetros, temos
(x+z,;x-z,;y-z) = x,(1,1,0);+;y,(0,0,1);+;z,(1,-1,-1)
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W = spanl(1,1,0),,(0,0,1),,(1,-1,-1)r

Passo 3

Para ver que esses três vetores são linearmente independentes, considere
a,(1,1,0) ;+; b,(0,0,1);+; c,(1,-1,-1) = (0,0,0)
Isso gera o sistema
a + c = 0, a - c = 0, b - c = 0
Da primeira e da segunda equações vem a=0 e c=0; da terceira vem b=0. Só a solução trivial mostra independência linear.

Passo 4

Como esses vetores geram W e são LI, eles formam uma base de W.

Resposta

Uma base conveniente de W é
(1,1,0),;(0,0,1),;(1,-1,-1)

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