Considere as bases B=e1, e2, c3 e C=g1, g2, g3 de R^3 assim relacionadas:
l g1=e1-c2-c3 g1=2 c2+3 e3 g3=3 c1 +c3
Determinar as matrizes de mudança de B para C e de C para B .

Passo 1

O enunciado fornece duas bases de
Queremos as matrizes de mudança de base
para ) e
(de para ).
Para isso usaremos que a matriz cujas colunas são as coordenadas de na base B é precisamente
, e então invertê-la para obter .

Passo 2

Calcular as coordenadas de cada gi na base B:
  • g1=1cdot c1+(-1)cdot c2+(-1)cdot c3,
  • g2=0cdot c1+2cdot c2+3cdot c3,
  • g3=3cdot c1+0cdot c2+1cdot c3.

Passo 3

Montamos
P,B C =l[,l[g1r]B;l[g2r]B;l[g3r]Br] = 1 & 0 & 3 -1& 2 & 0 -1& 3 & 1
Por construção, para qualquer vetor v valem
,[v]B=P,B C,[v]C.

Passo 4

Agora invertemos P,B C.
Calculemos det:
det 1 & 0 & 3 -1& 2 & 0 -1& 3 & 1 =1cdot(2cdot1-0cdot3)-0+;3cdot((-1)cdot3-2cdot(-1)) =2+3cdot(-1)=-1
O adjunto transposto é
adj 1 & 0 & 3 -1& 2 & 0 -1& 3 & 1 = 2 & 9 & -6 1 & 4 & -3 -1& -3 & 2 ,
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l(P,B Cr)^-1 =1-1, 2 & 9 & -6 1 & 4 & -3 -1& -3 & 2 = -2 & -9 & 6 -1 & -4 & 3 1 & 3 & -2

Passo 5

Portanto:
P,B C = 1 & 0 & 3 -1& 2 & 0 -1& 3 & 1 , P,C B = -2 & -9 & 6 -1 & -4 & 3 1 & 3 & -2

Resposta

PB C = 1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 -1 & 3 & 1 ,
PC B = -2 & -9 & 6 -1 & -4 & 3 1 & 3 & -2

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