Seja o estado
, onde
.
Encontre a constante de normalização
;
Encontre a constante de normalização
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de onda
e precisamos encontrar a constante de normalização
. Isso está relacionado com a mecânica quântica, onde a função de onda deve ser normalizada para garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula seja igual a 1. Para isso, vamos usar a condição de normalização e algumas propriedades de integrais envolvendo exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar a função de onda. Isso quer dizer que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Então, nosso objetivo é calcular essa integral e resolver para
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função
é dada por:
O módulo ao quadrado de
é:
Onde
é o complexo conjugado de
. Calculando:
Então:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão
. Usando a identidade de Euler, sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Substituindo
na condição de normalização:
Podemos fatorar os termos que não dependem de
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a integral
. Sabemos que:
Neste caso,
, então:
Passo 7
Substituindo o valor da integral de volta na equação:
Simplificando os coeficientes:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Como
é uma constante de normalização real (podemos assumir que
é positivo para simplificar), temos:
Resposta
A constante de normalização é: