Seja o estado Psi(x)=A e^(i k x-x^2)[1+e^-i alpha], onde alpha in R.
Encontre a constante de normalização A;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de onda Psi(x) = A e^(i k x - x^2) [1 + e^-i alpha] e precisamos encontrar a constante de normalização A. Isso está relacionado com a mecânica quântica, onde a função de onda deve ser normalizada para garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula seja igual a 1. Para isso, vamos usar a condição de normalização e algumas propriedades de integrais envolvendo exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar a função de onda. Isso quer dizer que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 , dx = 1
Então, nosso objetivo é calcular essa integral e resolver para A.

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x)|^2. A função Psi(x) é dada por:
Psi(x) = A e^(i k x - x^2) [1 + e^-i alpha]
O módulo ao quadrado de Psi(x) é:
|Psi(x)|^2 = Psi(x) Psi^*(x)
Onde Psi^*(x) é o complexo conjugado de Psi(x). Calculando:
Psi^*(x) = A^* e^(-i k x - x^2) [1 + e^i alpha]
Então:
|Psi(x)|^2 = |A|^2 e^-2 x^2 [1 + e^-i alpha] [1 + e^i alpha]

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão [1 + e^-i alpha] [1 + e^i alpha]. Usando a identidade de Euler, sabemos que:
[1 + e^-i alpha] [1 + e^i alpha] = 1 + e^-i alpha + e^i alpha + 1 = 2 + 2cos(alpha)
Portanto:
|Psi(x)|^2 = |A|^2 e^-2 x^2 [2 + 2cos(alpha)] = 2 |A|^2 e^-2 x^2 [1 + cos(alpha)]

Passo 5

Substituindo |Psi(x)|^2 na condição de normalização:
integral-infty^infty 2 |A|^2 e^-2 x^2 [1 + cos(alpha)] , dx = 1
Podemos fatorar os termos que não dependem de x:
2 |A|^2 [1 + cos(alpha)] integral-infty^infty e^-2 x^2 , dx = 1

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral integral-infty^infty e^-2 x^2 , dx. Sabemos que:
integral-infty^infty e^-a x^2 , dx = raizpia
Neste caso, a = 2, então:
integral-infty^infty e^-2 x^2 , dx = raizpi2

Passo 7

Substituindo o valor da integral de volta na equação:
2 |A|^2 [1 + cos(alpha)] raizpi2 = 1
Simplificando os coeficientes:
|A|^2 [1 + cos(alpha)] raiz2pi = 1

Passo 8

Agora, isolamos |A|^2:
|A|^2 = 1[1 + cos(alpha)] raiz2pi
Como A é uma constante de normalização real (podemos assumir que A é positivo para simplificar), temos:
A = 1raiz[1 + cos(alpha)] raiz2pi

Resposta

A constante de normalização é:
A = 1raiz (1 + cos(alpha)) raiz2,pi

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