Seja o estado
, onde
.
Calcule os valores esperados dos operadores
e
.
Calcule os valores esperados dos operadores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função de onda
e pede para calcular os valores esperados dos operadores
e
. Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente no estudo de valores esperados (ou expectativas) de operadores. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e usar as definições de valores esperados.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, encontrar o valor de
que faz com que a integral de
sobre todo o espaço seja igual a 1. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar seja 100%.
Passo 3
Vamos calcular
:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de normalização:
Sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 5
Vamos calcular agora o valor esperado de
:
Substituindo
:
Observamos que a função
é ímpar, ou seja, é simétrica com respeito à origem, e a integral de uma função ímpar sobre todo o espaço é zero. Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor esperado de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor esperado de
é $ \langle x \rangle = 0 $ e o valor esperado de
é $ \langle x^{2} \rangle = \frac{1}{4} $.