Seja o estado Psi(x)=A e^(i k x-x^2)[1+e^-i alpha], onde alpha in R.
Calcule os valores esperados dos operadores x e x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função de onda Psi(x) = A e^(i k x -x^2)[1+e^-i alpha] e pede para calcular os valores esperados dos operadores x e x^2. Isso está dentro da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente no estudo de valores esperados (ou expectativas) de operadores. Para resolver, vamos precisar normalizar a função de onda e usar as definições de valores esperados.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda, ou seja, encontrar o valor de A que faz com que a integral de |Psi(x)|^2 sobre todo o espaço seja igual a 1. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em algum lugar seja 100%.

Passo 3

Vamos calcular |Psi(x)|^2:
|Psi(x)|^2 = Psi^*(x) Psi(x) = A^2 e^-2x^2 [1 + e^i alpha][1 + e^-i alpha]
Simplificando, temos:
|Psi(x)|^2 = A^2 e^-2x^2 [2 + 2cos(alpha)] = 2A^2 (1 + cos alpha) e^-2x^2

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de normalização:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 dx = 1 implies 2A^2 (1 + cos alpha) integral-infty^infty e^-2x^2 dx = 1
Sabemos que integral-infty^infty e^-2x^2 dx = raizpi2, então:
2A^2 (1 + cos alpha) raizpi2 = 1 implies A^2 = 12(1 + cos alpha)raizpi2 = 1raiz2pi(1 + cos alpha)
Portanto:
A = 1raizraiz2pi(1 + cos alpha)

Passo 5

Vamos calcular agora o valor esperado de x:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x) x Psi(x) dx
Substituindo |Psi(x)|^2:
lang<= x rang<= = 2A^2 (1 + cos alpha) integral-infty^infty x e^-2x^2 dx
Observamos que a função x e^-2x^2 é ímpar, ou seja, é simétrica com respeito à origem, e a integral de uma função ímpar sobre todo o espaço é zero. Então:
lang<= x rang<= = 0

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor esperado de x^2:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty Psi^*(x) x^2 Psi(x) dx = 2A^2 (1 + cos alpha) integral-infty^infty x^2 e^-2x^2 dx
Sabemos que integral-infty^infty x^2 e^-2x^2 dx = raizpi4 raiz2, então:
lang<= x^2 rang<= = 2A^2 (1 + cos alpha) cdot raizpi4 raiz2 = 2raiz2pi(1 + cos alpha) (1 + cos alpha) cdot raizpi4 raiz2 = 14

Resposta

O valor esperado de x é $ \langle x \rangle = 0 $ e o valor esperado de lang<= x rang<= = 0 é $ \langle x^{2} \rangle = \frac{1}{4} $.

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