Seja o estado Psi(x)=A e^(i k x-x^2)[1+e^-i alpha], onde alpha in R.
Calcule a corrente de probabilidade jmath(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um estado quântico dado por Psi(x) = A e^(i k x - x^2)[1 + e^-i alpha], onde alpha é um número real. Nosso objetivo é calcular a corrente de probabilidade jmath(x) desse estado. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da corrente de probabilidade e saber como lidar com funções complexas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a corrente de probabilidade. Em uma dimensão, ela é dada por:
jmath(x) = hbar2mi ( Psi^* dPsidx - Psi dPsi^*dx )
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, i é a unidade imaginária, Psi^* é o conjugado complexo de Psi, e dPsidx é a derivada de Psi em relação a x.

Passo 3

Vamos calcular o conjugado complexo de Psi(x), que é Psi^*(x). Como Psi(x) = A e^(i k x - x^2)[1 + e^-i alpha], o conjugado complexo é:
Psi^*(x) = A^* e^(-i k x - x^2)[1 + e^i alpha]
Aqui, A^* é o conjugado complexo de A.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de Psi(x) em relação a x, ou seja, dPsidx. Usando a regra do produto:
dPsidx = A ( ddx e^i k x - x^2 ) [1 + e^-i alpha]
Calculando a derivada do expoente:
ddx e^i k x - x^2 = e^i k x - x^2 ( i k - 2x )
Então:
dPsidx = A e^i k x - x^2 ( i k - 2x ) [1 + e^-i alpha]

Passo 5

De maneira similar, vamos calcular a derivada do conjugado complexo, dPsi^*dx:
dPsi^*dx = A^* e^-i k x - x^2 ( -i k - 2x ) [1 + e^i alpha]

Passo 6

Agora, vamos substituir Psi, Psi^*, dPsidx e dPsi^*dx na fórmula da corrente de probabilidade:
jmath(x) = hbar2mi ( A^* e^-i k x - x^2[1 + e^i alpha] cdot A e^i k x - x^2 (i k - 2x)[1 + e^-i alpha] - A e^i k x - x^2[1 + e^-i alpha] cdot A^* e^-i k x - x^2 (-i k - 2x)[1 + e^i alpha] )

Passo 7

Simplificando os termos exponenciais: e^-i k x cdot e^i k x = e^0 = 1 e e^-x^2 cdot e^-x^2 = e^-2x^2. Além disso, A^* cdot A = |A|^2. Então:
jmath(x) = hbar |A|^2 e^-2x^22mi ( [1 + e^i alpha] [1 + e^-i alpha] (i k - 2x) - [1 + e^-i alpha] [1 + e^i alpha] (-i k - 2x) )

Passo 8

Observando que [1 + e^i alpha] [1 + e^-i alpha] = 1 + e^i alpha + e^-i alpha + 1 = 2 + 2 cos alpha, que é uma expressão real. Vamos chamar essa parte de C = 2(1 + cos alpha).
Substituindo:
jmath(x) = hbar |A|^2 e^-2x^2 C2mi ( i k - 2x + i k + 2x ) = hbar |A|^2 e^-2x^2 C2mi ( 2i k )

Passo 9

Simplificando mais:
jmath(x) = hbar |A|^2 e^-2x^2 C cdot 2i k2mi = hbar |A|^2 e^-2x^2 C cdot km
Substituindo C = 2(1 + cos alpha):
jmath(x) = hbar |A|^2 e^-2x^2 cdot 2(1 + cos alpha) cdot km = 2 hbar k |A|^2 e^-2x^2 (1 + cos alpha)m

Resposta

A corrente de probabilidade é:
jmath(x) = 2 hbar k, |A|^2, e^-2x^2 (1 + cos alpha)m

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