Prove que não existe \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}(1 / x), mas ambos \lim _{x \rightarrow 0} x \operatorname{sen}(1 / x) e \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \operatorname{sen}(1 / x) existem, determinando, inclusive, seus respectivos valores.
Passo 1
O enunciado dá a função x \mapsto \sin(1/x) (para x\neq0) e pede três coisas:
Mostrar que não existe \lim_{x\to0}\sin(1/x).
Mostrar que existe \lim_{x\to0} x\sin(1/x) e determinar esse limite.
Mostrar que existe \lim_{x\to0} x^{2}\sin(1/x) e determinar esse limite.
Informações relevantes fornecidas (explícitas ou implícitas):
A função \sin é limitada: para qualquer t\in\mathbb{R} tem-se -1\le \sin t\le 1.
Os limites são pedidos quando x tende a 0 (pelo eixo real), e estamos interessados em comportamento próximo de 0, mas com x\neq0.
Passo 2
Estratégia para mostrar que \lim_{x\to0}\sin(1/x) não existe: usar sequências que tendem a 0 e produzir valores diferentes da função ao longo dessas sequências. Vou explicar por que isso vale: se \lim_{x\to0}f(x)=L existisse, então para qualquer sequência (x_n) com x_n\neq0 e x_n\to0 teríamos f(x_n)\to L. Logo, encontrar duas sequências (x_n) e (y_n) com x_n\to0, y_n\to0 e tal que f(x_n)\to A e f(y_n)\to B com A\neq B implica que o limite não existe.
Vou construir duas sequências que façam \sin(1/x) assumir sempre 1 e sempre -1, respectivamente.
e \sin\!\left(\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right)=-1 para todo n. Logo
\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right)=-1\quad\text{para todo }n,
e também y_n\to0 quando n\to\infty.
Assim temos duas sequências x_n\to0 e y_n\to0 tais que \sin(1/x_n)\to1 e \sin(1/y_n)\to-1. Como os limites ao longo das duas sequências são diferentes, pela observação acima não pode existir \lim_{x\to0}\sin(1/x). Portanto esse limite não existe.
Passo 3
Agora vou mostrar que \lim_{x\to0} x\sin(1/x) existe e determinar seu valor. A ideia prática que costuma funcionar na prova é usar que \sin é limitada e aplicar o Teorema do Confronto (também chamado Teorema do Aperto ou Squeeze Theorem).
Primeiro, lembro o Teorema do Confronto em palavras simples e forma precisa:
Se g(x)\le f(x)\le h(x) numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a mesmo) e \lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L, então \lim_{x\to a}f(x)=L.
É uma ferramenta para “apertar” f entre duas funções cujo limite conhecido é o mesmo.
Aplicação ao caso: como para todo t vale -1\le \sin t\le 1, para todo x\neq0 temos
-1\le \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x (para qualquer x, o produto fica entre -|x| e |x|), obtemos
-|x|\le x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\le |x|.
(Explicação simples: se a\in[-1,1] então |x|a\in[-|x|,|x|]; o sinal de x não importa porque usamos |x|.)
Pelo Teorema do Confronto, a função x\sin(1/x) fica “apertada” entre duas funções que tendem a 0, logo
\lim_{x\to0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
Complemento intuitivo: outra forma de ver é dizer que \sin(1/x) é limitada por 1 em módulo e x\to0 anula o produto, conceito útil para prova em prova: produto de uma função limitada por constante e uma que tende a 0 tende a 0.
Passo 4
Agora faço o mesmo para \lim_{x\to0} x^{2}\sin(1/x). Usando a limitação de \sin novamente,
Então, por causa da desigualdade acima e do Teorema do Confronto (ou simplesmente pelo fato geral: se |f(x)|\le g(x) e g(x)\to0 então f(x)\to0), obtemos
Para mostrar que um limite não existe é muito eficiente usar sequências que tendem ao ponto e obter limites diferentes ao longo delas (isso vale por um teorema padrão: existência do limite implica convergência ao mesmo valor para toda sequência que tende ao ponto).
Para limites de funções oscilantes multiplicadas por x ou x^{2} perto de zero, use que a oscilação é limitada (|\sin|\le1) e que x e x^{2} tendem a 0; então aplique o Teorema do Confronto.
Um enunciado prático: se g é limitada (ex.: |g(x)|\le M) e h(x)\to0, então h(x)g(x)\to0. Isso resume em uma frase as partes (Passo 3) e (Passo 4).
Resposta
Não existe \lim_{x\to0}\sin(1/x). \lim_{x\to0} x\sin(1/x)=0. \lim_{x\to0} x^{2}\sin(1/x)=0.