Seja f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
f(x)=\left\{\begin{array}{c} \frac{1}{2^{n}}, \text { se } \frac{1}{2^{n+1}}<x \leq \frac{1}{2^{n}} \\\\ 0, \text { se } x=0 \end{array}\right.
(a) Prove que o conjunto \mathscr{D}_{f} dos pontos de descontinuidade de f tem conteúdo zero.
(b) Calcule \int_{0}^{1} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2^{n}},&\text{se }\frac{1}{2^{n+1}}<x\le\frac{1}{2^n},\;n=0,1,2,\dots,\\\\ 0,&\text{se }x=0, \end{cases}
no intervalo [0,1].
Precisamos mostrar que o conjunto \mathscr{D}_f de descontinuidades tem conteúdo zero (parte (a)) e então calcular a integral de Riemann \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx (parte (b)).
Usaremos que toda função limitada em [0,1] com conjunto de descontinuidades de conteúdo zero é Riemann–integrável, e que para funções em “degraus” a integral é soma das alturas vezes larguras dos degraus.

Passo 2

Identificamos onde f pode falhar de ser contínua. Em cada intervalo aberto \bigl(\tfrac1{2^{n+1}},\tfrac1{2^n}\bigr) a função é constante, logo contínua ali. Os únicos pontos problemáticos são as fronteiras
x_n=\frac1{2^n},\quad n=1,2,3,\dots,
e talvez x=0.
  • Para x_n=\tfrac1{2^n} temos
    \lim_{x\to x_n^-}f(x)=\tfrac1{2^{\,n-1}}\neq\tfrac1{2^n}=\lim_{x\to x_n^+}f(x),
    logo salto e descontinuidade em cada x_n.
  • Em x=0, f(0)=0 e, se x\to0^+ cai em algum degrau \tfrac1{2^n} para n grande, mas \tfrac1{2^n}\to0. Logo \lim_{x\to0^+}f(x)=0=f(0), há continuidade em 0.
    Assim
\mathscr{D}_f=\bigl\{x_n=\tfrac1{2^n}:n=1,2,3,\dots\}\,.

Passo 3

Para mostrar que \mathscr{D}_f tem conteúdo zero, dado \varepsilon>0 cobrimos cada x_n por um intervalo aberto I_n de comprimento \ell_n=\varepsilon/2^n. Então
\sum_{n=1}^{\infty}\ell_n =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^n} =\varepsilon\cdot\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^n} =\varepsilon\cdot1 =\varepsilon.
Isso prova que, para todo \varepsilon>0, existe cobertura de \mathscr{D}_f por intervalos cuja soma dos comprimentos é <\varepsilon. Logo \mathscr{D}_f tem conteúdo zero.

Passo 4

Pelo teorema de Riemann, f é integrável em [0,1]. Para calcular \displaystyle\int_0^1f(x)\,dx somamos as “áreas dos degraus”:
em cada intervalo \bigl(\tfrac1{2^{n+1}},\tfrac1{2^n}\bigr]
a função vale \tfrac1{2^n} e o comprimento do intervalo é
\frac1{2^n}-\frac1{2^{n+1}} =\frac1{2^{n+1}}.
Assim a contribuição é
\frac1{2^n}\times\frac1{2^{n+1}} =\frac1{2^{2n+1}}.
Somando para n=0,1,2,\dots (em n=0 corresponde a (1/2,1] com altura 1), obtemos
\int_0^1f(x)\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac1{2^{2n+1}} =\frac1{2}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac1{4}\Bigr)^{n} =\frac1{2}\cdot\frac1{1-\tfrac14} =\frac12\cdot\frac43 =\frac23.

Resposta

(a) O conjunto de descontinuidades é \{1/2,1/4,1/8,\dots\}, que tem conteúdo zero.
(b) \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\tfrac23.

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