Seja
a função definida por
e
a partição de
dada por
.
- Usando as fórmulas da soma das funções trigonométricas mostre que
.
- Se
mostre que a soma de Riemann de
com respeito à partição
será dada por
- Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma de Riemann de
em
usando a partição
e pontos de amostragem . Para isso, vamos precisar de uma identidade trigonométrica que expresse
como diferença de cossenos, e em seguida usar essa identidade para efetuar a soma telescópica
.
e pontos de amostragem
Passo 2
Usamos a fórmula
Escolhendo
temos
e
, logo
Isso mostra a identidade desejada.
Passo 3
Defina
. Para
a identidade vira
Somando de
até
obtém-se uma soma telescópica em que quase todos os termos de cosseno se cancelam, restando
Mas
implica
, então o lado direito vale
. Logo
Portanto a soma de Riemann fica
Passo 4
Para
temos
, de modo que
e
. Assim