Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função com derivadas até a terceira ordem. Prove que dado x>0, existe s \in(0, x) tal que f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+\frac{1}{3!} f^{\prime \prime \prime}(s) x^{3}. Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio à função F:[0, x] \rightarrow \mathbb{R} definida por:
F(t)=f(x)-f(t)-f^{\prime}(t)(x-t)-\frac{1}{2!} f^{\prime \prime}(t)(x-t)^{2}-\frac{1}{3!} \kappa(x-t)^{3}
onde \kappa será escolhido adequadamente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a forma de Taylor de segunda ordem com resto de Lagrange, ou seja, provar que para qualquer x>0 existe s\in(0,x) tal que
f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\tfrac{1}{2!}f''(0)\,x^2+\tfrac{1}{3!}f'''(s)\,x^3.
O método sugerido é aplicar o Teorema de Rolle (ou Valor Médio) a uma função F construída de modo que F(0)=F(x)=0.

Passo 2

Definimos
F(t)=f(x)-f(t)-f'(t)\,(x-t)-\tfrac{1}{2!}f''(t)\,(x-t)^2-\tfrac{1}{3!}\,\kappa\,(x-t)^3,
onde escolhemos o número \kappa de forma que F(0)=0. Em t=0 temos
F(0)=f(x)-f(0)-f'(0)\,x-\tfrac{1}{2!}f''(0)\,x^2-\tfrac{1}{3!}\,\kappa\,x^3=0,
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\kappa=\frac{6}{x^3}\Bigl(f(x)-f(0)-f'(0)\,x-\tfrac12f''(0)\,x^2\Bigr).

Passo 3

Verificamos em t=x que
F(x)=f(x)-f(x)-f'(x)\,0-\tfrac12f''(x)\,0^2-\tfrac16\kappa\,0^3=0.
Assim F(0)=F(x)=0. Pelo Teorema de Rolle, existe s\in(0,x) tal que
F'(s)=0.

Passo 4

Calculamos agora F'(t). Usando derivação de produtos e cadeias, obtém-se
F'(t)= -f'(t)\;+\;\bigl[-f''(t)(x-t)+f'(t)\bigr]\;+\;\Bigl[-\tfrac12f'''(t)(x-t)^2+f''(t)(x-t)\Bigr]\;+\;\tfrac12\kappa\,(x-t)^2.
Agrupando termos semelhantes, os termos em f'(t) e em f''(t)(x-t) se cancelam, restando
F'(t)=\frac{(x-t)^2}{2}\,\bigl(\kappa - f'''(t)\bigr).
Em t=s temos F'(s)=0, e como (x-s)^2>0 segue
\kappa=f'''(s).

Resposta

Substituindo o valor de \kappa em sua definição, concluímos que existe s\in(0,x) tal que
f(x)=f(0)+f'(0)\,x+\tfrac{1}{2!}f''(0)\,x^2+\tfrac{1}{3!}f'''(s)\,x^3,
como desejado.

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