Seja
uma função com derivadas até a terceira ordem. Prove que dado
, existe
tal que
. Sugestão: Aplique o Teorema do Valor Médio à função
definida por:
onde
será escolhido adequadamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a forma de Taylor de segunda ordem com resto de Lagrange, ou seja, provar que para qualquer
existe
tal que
O método sugerido é aplicar o Teorema de Rolle (ou Valor Médio) a uma função
construída de modo que
.
Passo 2
Definimos
onde escolhemos o número
de forma que
. Em
temos
logo
Passo 3
Verificamos em
que
Assim
. Pelo Teorema de Rolle, existe
tal que
Passo 4
Calculamos agora
. Usando derivação de produtos e cadeias, obtém-se
Agrupando termos semelhantes, os termos em
e em
se cancelam, restando
Em
temos
, e como
segue
Resposta
Substituindo o valor de
em sua definição, concluímos que existe
tal que
como desejado.