Sejam f, g: I \rightarrow \mathbb{R} funções contínuas num intervalo I, a, b \in I e \lambda \in \mathbb{R}. Prove que:
se a<b e f(x) \leq g(x), para todo x \in[a, b], então \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui eu peguei do enunciado):
  • f,g: I\to\mathbb{R} são funções contínuas em um intervalo I.
  • a,b\in I com a<b.
  • f(x)\le g(x) para todo x\in[a,b].
O que se pede: provar que
\int_{a}^{b} f \le \int_{a}^{b} g.

Passo 2

Uma ideia natural: estudar a diferença entre g e f. Defino a função
h(x):=g(x)-f(x),\qquad x\in[a,b].
Aqui h(x) representa quanto g é maior do que f em cada ponto. Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas, h é contínua em [a,b].

Passo 3

Da hipótese f(x)\le g(x) para todo x\in[a,b] segue que
h(x)=g(x)-f(x)\ge 0\qquad\text{para todo }x\in[a,b].
Ou seja, h é uma função contínua e não-negativa em [a,b].

Passo 4

Usarei duas propriedades padrão (que você deve conhecer ou lembrar):
  1. Teorema do valor extremo: uma função contínua em [a,b] atinge mínimo e máximo em [a,b]. Logo existe
m:=\min_{x\in[a,b]} h(x).
  1. Continuidade em intervalo fechado implica Riemann-integrabilidade. Portanto \int_a^b h existe.
Como h(x)\ge0 para todo x, temos m\ge0.

Passo 5

Agora uma desigualdade útil: como m é o menor valor de h em [a,b], para todo x\in[a,b] vale
h(x)\ge m.
Integrando essa desigualdade (justificado porque as funções constantes e h são integráveis), obtemos a desigualdade entre integrais de funções integráveis:
\int_a^b h(x)\,dx \ge \int_a^b m\,dx.

Passo 6

Calculo explícito da integral da constante m:
\int_a^b m\,dx = m(b-a).
Como m\ge0 e b-a>0, fica m(b-a)\ge0. Portanto, combinando com o passo anterior,
\int_a^b h(x)\,dx \ge m(b-a)\ge 0.
Em particular,
\int_a^b h(x)\,dx \ge 0.

Passo 7

Voltando à definição de h, temos h=g-f. Pela linearidade da integral (que vale para funções integráveis),
\int_a^b h = \int_a^b (g-f) = \int_a^b g - \int_a^b f.
Aplicando a desigualdade do passo anterior,
\int_a^b g - \int_a^b f = \int_a^b h \ge 0.
Rearranjando,
\int_a^b f \le \int_a^b g.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} f \le \int_{a}^{b} g

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