Sejam
funções contínuas num intervalo
e
. Prove que:
se
e
, para todo
, então
.
se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui eu peguei do enunciado):
-
são funções contínuas em um intervalo . -
com . -
para todo .
O que se pede: provar que
Passo 2
Uma ideia natural: estudar a diferença entre
e
. Defino a função
Aqui
representa quanto
é maior do que
em cada ponto. Como soma e diferença de funções contínuas são contínuas,
é contínua em
.
Passo 3
Da hipótese
para todo
segue que
Ou seja,
é uma função contínua e não-negativa em
.
Passo 4
Usarei duas propriedades padrão (que você deve conhecer ou lembrar):
- Teorema do valor extremo: uma função contínua em
atinge mínimo e máximo em . Logo existe
- Continuidade em intervalo fechado implica Riemann-integrabilidade. Portanto
existe.
Como
para todo
, temos
.
Passo 5
Agora uma desigualdade útil: como
é o menor valor de
em
, para todo
vale
Integrando essa desigualdade (justificado porque as funções constantes e
são integráveis), obtemos a desigualdade entre integrais de funções integráveis:
Passo 6
Calculo explícito da integral da constante
:
Como
e
, fica
. Portanto, combinando com o passo anterior,
Em particular,
Passo 7
Voltando à definição de
, temos
. Pela linearidade da integral (que vale para funções integráveis),
Aplicando a desigualdade do passo anterior,
Rearranjando,