Um tanque cilíndrico reto de raio
e altura 4 m está cheio de água. Detemianr o trabalho realizado para esvaziar o tanque pela parte superior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico reto com raio de
e altura de 4 metros, todo cheio de água. O que a gente precisa descobrir é quanto trabalho é necessário para esvaziar esse tanque pela parte de cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física, especificamente sobre trabalho e energia, e também cálculo integral para somar todo o trabalho feito para levantar a água até o topo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho (
) para levantar um objeto é dado por:
No caso da água, a força necessária para levantar um pouquinho de água é o peso dessa água, que é a massa vezes a gravidade (
).
Passo 3
Vamos considerar uma fatia infinitesimal de água no tanque com uma altura muito pequena
em um ponto
a partir da base do tanque. A massa dessa fatia (
) é:
Onde:
-
é a densidade da água ( ), -
é o raio do tanque ( ), -
é o volume da fatia, -
é a área da base do cilindro.
Passo 4
O trabalho para levantar essa fatia até o topo do tanque é:
Aqui,
é a distância que a fatia precisa ser levantada até o topo do tanque.
Passo 5
Para encontrar o trabalho total, precisamos somar o trabalho de todas essas fatias desde a base até o topo do tanque, ou seja, integrar de
até
:
Passo 6
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Integrando:
Avaliado de 0 a 4:
Passo 7
Agora, substituindo todos os valores:
Calculando $ (1,2)^2 = 1,44 $:
Passo 8
Multiplicando os números:
Resposta
O trabalho necessário para esvaziar o tanque pela parte superior é aproximadamente
(Joules).