Um tanque cilíndrico reto de raio 1,2 m e altura 4 m está cheio de água. Detemianr o trabalho realizado para esvaziar o tanque pela parte superior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tanque cilíndrico reto com raio de 1,2 , m e altura de 4 metros, todo cheio de água. O que a gente precisa descobrir é quanto trabalho é necessário para esvaziar esse tanque pela parte de cima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física, especificamente sobre trabalho e energia, e também cálculo integral para somar todo o trabalho feito para levantar a água até o topo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho ( W) para levantar um objeto é dado por:
W = força times distância çâ
No caso da água, a força necessária para levantar um pouquinho de água é o peso dessa água, que é a massa vezes a gravidade ( g).

Passo 3

Vamos considerar uma fatia infinitesimal de água no tanque com uma altura muito pequena De em um ponto y a partir da base do tanque. A massa dessa fatia ( De) é:
De
Onde:
  • rho é a densidade da água ( 1000 , kg/m^3),
  • r é o raio do tanque ( 1,2 , m),
  • V é o volume da fatia,
  • pi r^2 é a área da base do cilindro.

Passo 4

O trabalho para levantar essa fatia até o topo do tanque é:
De
Aqui, 4 - y é a distância que a fatia precisa ser levantada até o topo do tanque.

Passo 5

Para encontrar o trabalho total, precisamos somar o trabalho de todas essas fatias desde a base até o topo do tanque, ou seja, integrar de y = 0 até y = 4:
W = integral0^4 rho pi r^2 g (4 - y) , dy

Passo 6

Vamos resolver essa integral passo a passo:
W = rho pi r^2 g integral0^4 (4 - y) , dy
Integrando:
integral (4 - y) , dy = 4y - y^22
Avaliado de 0 a 4:
4(4) - 4^22 = 16 - 8 = 8

Passo 7

Agora, substituindo todos os valores:
W = 1000 times pi times (1,2)^2 times 9,81 times 8
Calculando $ (1,2)^2 = 1,44 $:
(1,2)^2 = 1,44

Passo 8

Multiplicando os números:
W = 1000 times 3,1416 times 1,44 times 9,81 times 8 approx 1000 times 3,1416 times 1,44 times 78,48
W approx 1000 times 3,1416 times 113,107 approx 1000 times 355,305 approx 355.305 , J

Resposta

O trabalho necessário para esvaziar o tanque pela parte superior é aproximadamente 355.305 , J (Joules).

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