Q 156 A interpretação geométrica do teorema de Lagrange é que para um valor adequado
no intervalo aberto
, a reta tangente à curva
no ponto
é paralela à reta secante que passa pelos pontos
e
.
Em cada item, ache um valor de
que satisfaça a conclusão do teorema, faça um esboço do gráfico no intervalo indicado e coloque no gráfico as retas tangente e secante.
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo fechado
e pede que apliquemos o Teorema de Lagrange (MVT), que garante a existência de um ponto
tal que
Para resolver, vamos calcular a inclinação da secante entre
e
, derivar
, e igualar as duas inclinações para achar
.
Passo 2
Calculemos os valores da função nos extremos:
A inclinação da reta secante é
Agora a derivada de
é
Pelo MVT, há
tal que
Passo 3
Vamos anotar as equações das retas envolvidas.
- Secante em
e , com :
- Tangente em
. Primeiro
Então a reta tangente é
Passo 4
Esboço do gráfico em
:
- A curva
é uma parábola voltada para baixo, com vértice em . - Pontos notáveis:
-
, -
, -
.
-
- A reta secante liga
a e tem equação . - A reta tangente toca a parábola em
e tem equação .
Em um esboço, você desenharia a parábola, marcaria
,
e
, traçaria a secante passando por
e
e a tangente em
, vendo que ambas são paralelas (mesma inclinação
).
Resposta
O valor de
que satisfaz o Teorema de Lagrange é