Q 156 A interpretação geométrica do teorema de Lagrange é que para um valor adequado c no intervalo aberto (a, b), a reta tangente à curva y=f(x) no ponto P(c, f(c)) é paralela à reta secante que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)).
Em cada item, ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema, faça um esboço do gráfico no intervalo indicado e coloque no gráfico as retas tangente e secante.
(a) f(x)=4-x^2,[-1,2];

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4 - x^2
no intervalo fechado [-1,2] e pede que apliquemos o Teorema de Lagrange (MVT), que garante a existência de um ponto cin(-1,2) tal que
f'(c)=f(2)-f(-1)2-(-1)
Para resolver, vamos calcular a inclinação da secante entre A(-1,f(-1)) e B(2,f(2)), derivar f, e igualar as duas inclinações para achar c.

Passo 2

Calculemos os valores da função nos extremos:
f(-1)=4 - (-1)^2=4-1=3, f(2)=4 - 2^2=4-4=0
A inclinação da reta secante é
msec = f(2)-f(-1)2-(-1) = 0 - 33 = -1
Agora a derivada de f é
f'(x) = -2x
Pelo MVT, há c tal que
f'(c) = -2c = msec = -1 Longrightarrow c = 12

Passo 3

Vamos anotar as equações das retas envolvidas.
  1. Secante em A(-1,3) e B(2,0), com msec=-1:
y - 3 = -1,(x + 1) Longrightarrow y = -,x + 2
  1. Tangente em Pl(tfrac12,f(tfrac12)r). Primeiro
fl(tfrac12r)=4 - l(tfrac12r)^2=4-tfrac14=tfrac154, f'l(tfrac12r)=-2cdottfrac12=-1
Então a reta tangente é
y - tfrac154 = -1l(x - tfrac12r) Longrightarrow y = -,x + tfrac174

Passo 4

Esboço do gráfico em [-1,2]:
  • A curva y=4-x^2 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,4).
  • Pontos notáveis:
    • A(-1,3),
    • B(2,0),
    • Pl(tfrac12,tfrac154r).
  • A reta secante liga A a B e tem equação y=-x+2.
  • A reta tangente toca a parábola em P e tem equação y=-x+tfrac174.
Em um esboço, você desenharia a parábola, marcaria A, B e P, traçaria a secante passando por A e B e a tangente em P, vendo que ambas são paralelas (mesma inclinação -1).

Resposta

O valor de c que satisfaz o Teorema de Lagrange é
c = tfrac12

Exercícios relacionados