Seja f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} uma funçāo derivável no ponto p. Mostre que
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(p+h)-f(p-h)}{2 h}=f^{\prime}(p) .
Dê um exemplo de uma funçāo en que o limite
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(p+h)-f(p-h)}{2 h}
existe e é finito, mas f^{\prime}(p) nāo existe.

Passo 1

O enunciado dá uma função f:\mathbf{R}\to\mathbf{R} que é derivável no ponto p. Ele pede duas coisas:
  1. Mostrar que
\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{2h}=f'(p).
  1. Dar um exemplo de uma função em que o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{2h}
existe e é finito, mas f'(p) não existe.
As informações relevantes são: f é derivável em p (ou seja, o limite que define f'(p) existe finito) e queremos estudar o limite do quociente simétrico \frac{f(p+h)-f(p-h)}{2h} quando h\to0.

Passo 2

Lembrando a definição de derivada no ponto p. Dizer que f é derivável em p significa, por definição,
f'(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h}
existe e é um número finito.
Explicação didática: essa fração \frac{f(p+h)-f(p)}{h} é a razão de diferença para um pequeno incremento h. Quando o limite existe ao fazermos h cada vez menor (tanto positivo quanto negativo), o número limite é a inclinação instantânea de f em p, isso é f'(p).

Passo 3

Vamos manipular algebricamente o quociente simétrico para relacioná-lo com as diferenças usadas na definição da derivada. Para h\neq 0 temos:
\frac{f(p+h)-f(p-h)}{2h} = \frac{1}{2}\left(\frac{f(p+h)-f(p)}{h} + \frac{f(p)-f(p-h)}{h}\right).
Mostro passo a passo essa igualdade:
\frac{f(p+h)-f(p-h)}{2h} = \frac{1}{2}\cdot\frac{(f(p+h)-f(p))+(f(p)-f(p-h))}{h},
e isso é exatamente a média aritmética dos quocientes de diferença \frac{f(p+h)-f(p)}{h} e \frac{f(p)-f(p-h)}{h}.

Passo 4

Interpretação das duas parcelas internas. A primeira parcela é a razão de diferença direta:
\frac{f(p+h)-f(p)}{h},
cujo limite quando h\to 0 é f'(p) por definição.
A segunda parcela pode ser escrita como
\frac{f(p)-f(p-h)}{h}=\frac{f(p-h)-f(p)}{-h},
ou seja, é a razão de diferença para o incremento -h. Quando h\to 0, também temos -h\to 0, portanto, como f é derivável em p, o limite dessa segunda parcela também é f'(p).
Explicação didática: derivabilidade em p implica que as duas derivadas laterais (pela direita e pela esquerda) coincidem e valem f'(p). Assim tanto o quociente com h pequeno positivo quanto o quociente com -h pequeno tendem a f'(p).

Passo 5

Usando a propriedade de limites (a média de duas sequências que convergem para o mesmo limite converge para esse limite), temos:
\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{2h} = \frac{1}{2}\Big(\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p)}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{f(p)-f(p-h)}{h}\Big) = \frac{1}{2}\big(f'(p)+f'(p)\big)=f'(p).
Portanto o limite pedido é igual a f'(p), como queríamos mostrar.

Passo 6

Agora o exemplo onde o limite simétrico existe mas f'(p) não existe. Tomemos a função valor absoluto na origem:
f(x)=|x|
e escolhemos p=0.
Vou mostrar que o limite simétrico existe e é finito, mas f'(0) não existe.

Passo 7

Cálculo do quociente simétrico para f(x)=|x| e p=0. Para h\neq 0,
\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}=\frac{|h|-|{-h}|}{2h}=\frac{|h|-|h|}{2h}=0.
Então para todo h\neq 0 esse quociente vale exatamente 0. Logo
\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}=0.
Isso mostra que o limite simétrico existe e é igual a 0.

Passo 8

Cálculo da derivada em 0. As derivadas laterais são:
\lim_{h\to 0^+}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1
e
\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|-0}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1.
Como as derivadas laterais são diferentes, f'(0) não existe.

Passo 9

Conclusão do exemplo: para f(x)=|x| em p=0 o limite simétrico existe e vale 0, mas f'(0) não existe porque as derivadas laterais são 1 e -1. Portanto esse exemplo atende ao pedido.

Resposta

\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(p+h)-f(p-h)}{2h}=f'(p).\n
Exemplo: f(x)=|x| em p=0. O limite simétrico vale 0 enquanto f'(0) não existe.

Exercícios relacionados