Seja
uma funçāo derivável no ponto p. Mostre que
Dê um exemplo de uma funçāo en que o limite
existe e é finito, mas
nāo existe.
Passo 1
O enunciado dá uma função
que é derivável no ponto
. Ele pede duas coisas:
- Mostrar que
- Dar um exemplo de uma função em que o limite
existe e é finito, mas
não existe.
As informações relevantes são:
é derivável em
(ou seja, o limite que define
existe finito) e queremos estudar o limite do quociente simétrico
quando
.
Passo 2
Lembrando a definição de derivada no ponto
. Dizer que
é derivável em
significa, por definição,
existe e é um número finito.
Explicação didática: essa fração
é a razão de diferença para um pequeno incremento
. Quando o limite existe ao fazermos
cada vez menor (tanto positivo quanto negativo), o número limite é a inclinação instantânea de
em
, isso é
.
Passo 3
Vamos manipular algebricamente o quociente simétrico para relacioná-lo com as diferenças usadas na definição da derivada. Para
temos:
Mostro passo a passo essa igualdade:
e isso é exatamente a média aritmética dos quocientes de diferença
e
.
Passo 4
Interpretação das duas parcelas internas. A primeira parcela é a razão de diferença direta:
cujo limite quando
é
por definição.
A segunda parcela pode ser escrita como
ou seja, é a razão de diferença para o incremento
. Quando
, também temos
, portanto, como
é derivável em
, o limite dessa segunda parcela também é
.
Explicação didática: derivabilidade em
implica que as duas derivadas laterais (pela direita e pela esquerda) coincidem e valem
. Assim tanto o quociente com
pequeno positivo quanto o quociente com
pequeno tendem a
.
Passo 5
Usando a propriedade de limites (a média de duas sequências que convergem para o mesmo limite converge para esse limite), temos:
Portanto o limite pedido é igual a
, como queríamos mostrar.
Passo 6
Agora o exemplo onde o limite simétrico existe mas
não existe. Tomemos a função valor absoluto na origem:
e escolhemos
.
Vou mostrar que o limite simétrico existe e é finito, mas
não existe.
Passo 7
Cálculo do quociente simétrico para
e
. Para
,
Então para todo
esse quociente vale exatamente
. Logo
Isso mostra que o limite simétrico existe e é igual a
.
Passo 8
Cálculo da derivada em
. As derivadas laterais são:
e
Como as derivadas laterais são diferentes,
não existe.
Passo 9
Conclusão do exemplo: para
em
o limite simétrico existe e vale
, mas
não existe porque as derivadas laterais são
e
. Portanto esse exemplo atende ao pedido.
Resposta
Exemplo: