(1.) Prove que, para todo X \subset \mathbb{R}, tem-se \bar{X}=X \cup X^{\prime}. Conclua que X é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, para qualquer conjunto X\subset\mathbb{R}, que
\overline{X} \;=\; X \;\cup\; X',
onde \overline{X} é o fecho de X (isto é, o menor conjunto fechado que contém X) e
Isso mostra que (y-\varepsilon,y+\varepsilon) está contido no complemento de X\cup X', provando que esse complemento é aberto. Portanto X\cup X' é fechado.
Passo 3
Como \overline{X} é o menor conjunto fechado que contém X e acabamos de ver que X\cup X' é fechado e contém X, segue
\overline{X}\;\subset\;X\cup X'.
Passo 4
Agora mostramos a inclusão inversa. Se x\in X, então evidentemente x\in\overline{X}, pois todo fecho contém X. Se x\in X', então por definição de ponto de acumulação temos \forall\varepsilon>0:\;X\cap(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq\emptyset,
que é exatamente a condição para x\in\overline{X}. Logo
X\cup X'\;\subset\;\overline{X}.
Passo 5
Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue a igualdade
\overline{X} \;=\; X\;\cup\;X'.
Passo 6
Por fim, X é fechado se, e somente se, \overline{X}=X. Mas pela igualdade acabada temos