(1.) Prove que, para todo X \subset \mathbb{R}, tem-se \bar{X}=X \cup X^{\prime}. Conclua que X é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, para qualquer conjunto X\subset\mathbb{R}, que
\overline{X} \;=\; X \;\cup\; X',
onde \overline{X} é o fecho de X (isto é, o menor conjunto fechado que contém X) e
X' \;=\;\{\,x\in\mathbb{R}\mid \forall \varepsilon>0:\;(X\setminus\{x\})\cap(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq\emptyset\}
é o conjunto dos pontos de acumulação (ou pontos-limite) de X.
Vamos usar a definição de fecho como
\overline{X}=\{\,x\in\mathbb{R}\mid \forall \varepsilon>0:\;X\cap(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq\emptyset\}.

Passo 2

Mostramos que X\cup X' é fechado. Seja y\notin X\cup X'. Então y\notin X e y\notin X'. Como y\notin X', existe \varepsilon>0 tal que
(X\setminus\{y\})\cap(y-\varepsilon,y+\varepsilon)=\emptyset.
Mas y\notin X também, logo
X\cap(y-\varepsilon,y+\varepsilon)=\emptyset.
Isso mostra que (y-\varepsilon,y+\varepsilon) está contido no complemento de X\cup X', provando que esse complemento é aberto. Portanto X\cup X' é fechado.

Passo 3

Como \overline{X} é o menor conjunto fechado que contém X e acabamos de ver que X\cup X' é fechado e contém X, segue
\overline{X}\;\subset\;X\cup X'.

Passo 4

Agora mostramos a inclusão inversa. Se x\in X, então evidentemente x\in\overline{X}, pois todo fecho contém X. Se x\in X', então por definição de ponto de acumulação temos
\forall\varepsilon>0:\;X\cap(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\neq\emptyset,
que é exatamente a condição para x\in\overline{X}. Logo
X\cup X'\;\subset\;\overline{X}.

Passo 5

Das inclusões dos Passos 3 e 4 segue a igualdade
\overline{X} \;=\; X\;\cup\;X'.

Passo 6

Por fim, X é fechado se, e somente se, \overline{X}=X. Mas pela igualdade acabada temos
\overline{X}=X\cup X'=X \quad\Longleftrightarrow\quad X'\subset X.
Isto é, X é fechado exatamente quando contém todos os seus pontos de acumulação.

Resposta

\boxed{\overline{X}=X\cup X'\quad\text{e}\quad X\text{ é fechado}\;\Longleftrightarrow\;X'\subset X.}é

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