1. Seja f:[a,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} limitada. Para cada t \geq a indiquemos com M_{t} o sup e m_{t} o \inf de f no intervalo I=[t,+\infty). Com \omega_{t}= M_{t}-m_{t} indicaremos a oscilação de f em I. Prove que existem \lim _{t \rightarrow+\infty} M_{t} \mathrm{e} \lim _{t \rightarrow+\infty} m_{t}. Prove que existe \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) se, e somente se, \lim _{t \rightarrow+\infty} \omega_{t}=0.

Passo 1

O enunciado considera uma função limitada f:[a,+\infty)\to\mathbb{R}. Para cada t\ge a definimos
M_{t}=\sup_{x\in[t,+\infty)}f(x), \quad m_{t}=\inf_{x\in[t,+\infty)}f(x), \quad \omega_{t}=M_{t}-m_{t}.
Queremos (i) provar que \lim_{t\to+\infty}M_{t} e \lim_{t\to+\infty}m_{t} existem, e (ii) mostrar que \lim_{x\to+\infty}f(x) existe se, e somente se, \lim_{t\to+\infty}\omega_{t}=0. Usaremos o fato de que toda função monótona e limitada tem limite finito, e a definição de limite de f no infinito.

Passo 2

Mostramos que M_{t} é não crescente e limitada inferiormente.
  • Se t_{1}<t_{2} então [t_{2},+\infty)\subset[t_{1},+\infty), logo
M_{t_{2}} =\sup_{x\ge t_{2}}f(x) \le\sup_{x\ge t_{1}}f(x) =M_{t_{1}}.
  • Como f é limitada, existe L\in\mathbb{R} tal que f(x)\ge L para todo x, daí M_{t}\ge L.
    Uma sequência (ou função) não crescente e limitada inferiormente tem limite finito quando t\to+\infty. Portanto
\lim_{t\to+\infty}M_{t} \quad\text{existe (finito).}

Passo 3

De modo análogo, m_{t} é não decrescente e limitada superiormente.
  • Se t_{1}<t_{2} então
m_{t_{2}} =\inf_{x\ge t_{2}}f(x) \ge\inf_{x\ge t_{1}}f(x) =m_{t_{1}}.
  • Como f é limitada, existe U\in\mathbb{R} tal que f(x)\le U para todo x, daí m_{t}\le U.
    Logo m_{t} é não decrescente e limitada superiormente, e assim
\lim_{t\to+\infty}m_{t} \quad\text{existe (finito).}

Passo 4

Suponha \lim_{t\to+\infty}\omega_{t}=0. Seja
L_{M}=\lim_{t\to+\infty}M_{t}, \quad L_{m}=\lim_{t\to+\infty}m_{t}.
Como \omega_{t}=M_{t}-m_{t}\to0, segue L_{M}-L_{m}=0, ou seja, L_{M}=L_{m}=L. Dado \varepsilon>0, existe T tal que para todo t\ge T,
M_{t}-m_{t}<\varepsilon \quad\Longrightarrow\quad m_{t}>L-\varepsilon \quad\text{e}\quad M_{t}<L+\varepsilon.
Para todo x\ge T temos m_{T}\le f(x)\le M_{T}, portanto
L-\varepsilon < f(x) < L+\varepsilon,
isto é, \lim_{x\to+\infty}f(x)=L.

Passo 5

Agora suponha \lim_{x\to+\infty}f(x)=L. Então dado \varepsilon>0, existe T tal que para todo x\ge T,
\lvert f(x)-L\rvert<\tfrac\varepsilon2. Isso implica
L-\tfrac\varepsilon2 < f(x) < L+\tfrac\varepsilon2 \quad\forall x\ge T,
logo
m_{T}\ge L-\tfrac\varepsilon2, \quad M_{T}\le L+\tfrac\varepsilon2,
e
\omega_{T}=M_{T}-m_{T}\le\varepsilon.
Como \omega_{t} é não crescente em t, segue \omega_{t}\le\omega_{T}\le\varepsilon para todo t\ge T. Assim \lim_{t\to+\infty}\omega_{t}=0.

Resposta

Existem \displaystyle \lim_{t\to+\infty}M_{t} e \displaystyle \lim_{t\to+\infty}m_{t} por serem funções monótonas e limitadas. Ademais, \lim_{x\to+\infty}f(x) existe se, e somente se, \lim_{t\to+\infty}\omega_{t}=0.

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