Seja f(alpha)=tan alpha. Verifique a igualdade: f(2 alpha)=2 f(alpha)1-[f(alpha)]^2

Passo 1

O enunciado define a função f por f(α)=tan α e pede para checar a fórmula do ângulo duplo f(2α)=\frac{2 f(α)}{1-[f(α)]^2}. O assunto é trigonometria, mais precisamente a fórmula de adição de ângulos para a tangente.

Passo 2

A teoria que usamos é a fórmula de adição de tangentes: para quaisquer A e B vale
tan(A+B)=tan A+tan B1-tan A,tan B

Passo 3

Aplicando A=α e B=α na fórmula de adição, obtemos
tan(2α)=tan(α+α)=tan α+tan α1-tan α,tan α=2tan α1-tan^2α
Como f(α)=tan α, isso é exatamente
f(2α)=2 f(α)1-[f(α)]^2

Resposta

A igualdade está verificada, pois f(2α)=tan(2α)=\frac{2\tan α}{1-\tan^2α}=\frac{2 f(α)}{1-[f(α)]^2}.

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