Se
a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas
e
, orientado no sentido positivo. Dê o valor de cada uma das seguintes integrais:
\oint_{\Gamma} \frac{\tan (z / 2)}{\left(z-x_{0}\right)^{2}} \quad\left(\left|x_{0}\right|<2\right)
\oint_{\Gamma} \frac{\tan (z / 2)}{\left(z-x_{0}\right)^{2}} \quad\left(\left|x_{0}\right|<2\right)
Passo 1
O enunciado dá a curva
que é a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas
e
, orientada no sentido positivo. Pede-se o valor da integral
sujeita à condição
. Informações relevantes fornecidas:
- A curva
é um contorno fechado que engloba todo o retângulo . - O ponto
está estritamente dentro de , pela hipótese . - Precisamos identificar todas as singularidades do integrando dentro de
.
Passo 2
Vamos localizar as singularidades da função
.
- As possíveis singularidades vêm de zeros do denominador e de polos de
. - O fator
produz um polo de ordem em , que está dentro de (conforme Passo 1). - As singularidades de
ocorrem quando , ou seja quando
Esses valores são
. Como
, nenhum desses pontos está dentro do quadrado
. Logo, dentro de
não há polos de
.
- Conclusão: a única singularidade do integrando dentro de
é o polo de ordem em .
Passo 3
Aplicamos o Teorema dos Resíduos: para uma função meromorfa com singularidades isoladas dentro de um contorno fechado positivamente orientado,
Aqui há apenas um resíduo a considerar, o de
em
. Assim
Passo 4
Precisamos calcular o resíduo no polo de ordem
. Use a observação prática: se
é holomorfa numa vizinhança de
, então a função
tem resíduo igual a
. Justificativa rápida: escrevendo a expansão de Taylor
divide-se por
e o coeficiente de
é exatamente
.
No nosso caso podemos tomar
No nosso caso podemos tomar
que é holomorfa em uma vizinhança de
(pois não tem polos dentro do quadrado). Logo
Passo 5
Calcule a derivada
. Usando a regra da cadeia e a derivada
, temos
Portanto, em
,
(Lembre que
.)
Passo 6
Substituindo o resíduo na fórmula do Teorema dos Resíduos obtemos