Se Gamma a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas x= \pm 2 e y= \pm 2, orientado no sentido positivo. Dê o valor de cada uma das seguintes integrais:
\oint_{\Gamma} \frac{\tan (z / 2)}{\left(z-x_{0}\right)^{2}} \quad\left(\left|x_{0}\right|<2\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva \Gamma que é a fronteira do quadrado cujos lados estão sobre as retas x=\pm 2 e y=\pm 2, orientada no sentido positivo. Pede-se o valor da integral
\oint_{\Gamma} \frac{\tan(z/2)}{(z-x_{0})^{2}}\,dz
sujeita à condição |x_{0}|<2. Informações relevantes fornecidas:
  • A curva \Gamma é um contorno fechado que engloba todo o retângulo \{(x,y)\mid -2\le x\le 2,\,-2\le y\le 2\}.
  • O ponto z=x_{0} está estritamente dentro de \Gamma, pela hipótese |x_{0}|<2.
  • Precisamos identificar todas as singularidades do integrando dentro de \Gamma.

Passo 2

Vamos localizar as singularidades da função \displaystyle \frac{\tan(z/2)}{(z-x_{0})^{2}}.
  • As possíveis singularidades vêm de zeros do denominador e de polos de \tan(z/2).
  • O fator (z-x_{0})^{2} produz um polo de ordem 2 em z=x_{0}, que está dentro de \Gamma (conforme Passo 1).
  • As singularidades de \tan(z/2) ocorrem quando \cos(z/2)=0, ou seja quando
\frac{z}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad z=(2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Esses valores são \pm\pi,\pm3\pi,\ldots. Como \pi\approx 3{,}14>2, nenhum desses pontos está dentro do quadrado |\Re z|\le2,\;|\Im z|\le2. Logo, dentro de \Gamma não há polos de \tan(z/2).
  • Conclusão: a única singularidade do integrando dentro de \Gamma é o polo de ordem 2 em z=x_{0}.

Passo 3

Aplicamos o Teorema dos Resíduos: para uma função meromorfa com singularidades isoladas dentro de um contorno fechado positivamente orientado,
\oint_{\Gamma} f(z)\,dz = 2\pi i \sum (\text{resíduos de }f\text{ dentro de }\Gamma).í
Aqui há apenas um resíduo a considerar, o de \displaystyle f(z)=\frac{\tan(z/2)}{(z-x_{0})^{2}} em z=x_{0}. Assim
\oint_{\Gamma} \frac{\tan(z/2)}{(z-x_{0})^{2}}\,dz = 2\pi i\;\operatorname{Res}\!\bigg(\frac{\tan(z/2)}{(z-x_{0})^{2}},\,z=x_{0}\bigg).

Passo 4

Precisamos calcular o resíduo no polo de ordem 2. Use a observação prática: se h é holomorfa numa vizinhança de z_{0}, então a função \dfrac{h(z)}{(z-z_{0})^{2}} tem resíduo igual a h'(z_{0}). Justificativa rápida: escrevendo a expansão de Taylor
h(z)=h(z_{0})+h'(z_{0})(z-z_{0})+\cdots,
divide-se por (z-z_{0})^{2} e o coeficiente de (z-z_{0})^{-1} é exatamente h'(z_{0}).
No nosso caso podemos tomar
h(z)=\tan(z/2),
que é holomorfa em uma vizinhança de x_{0} (pois não tem polos dentro do quadrado). Logo
\operatorname{Res}\!\bigg(\frac{\tan(z/2)}{(z-x_{0})^{2}},\,z=x_{0}\bigg)=h'(x_{0})=\frac{d}{dz}\bigg[\tan\!\bigg(\frac{z}{2}\bigg)\bigg]_{z=x_{0}}.

Passo 5

Calcule a derivada h'(z)=\dfrac{d}{dz}\tan(z/2). Usando a regra da cadeia e a derivada \dfrac{d}{du}\tan u=\operatorname{sec}^{2}u, temos
\frac{d}{dz}\tan\!\bigg(\frac{z}{2}\bigg)=\operatorname{sec}^{2}\!\bigg(\frac{z}{2}\bigg)\cdot\frac{d}{dz}\!\bigg(\frac{z}{2}\bigg) = \operatorname{sec}^{2}\!\bigg(\frac{z}{2}\bigg)\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\!\bigg(\frac{z}{2}\bigg).
Portanto, em z=x_{0},
h'(x_{0})=\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\!\bigg(\frac{x_{0}}{2}\bigg).
(Lembre que \operatorname{sec} u=1/\cos u.)

Passo 6

Substituindo o resíduo na fórmula do Teorema dos Resíduos obtemos
\oint_{\Gamma} \frac{\tan(z/2)}{(z-x_{0})^{2}}\,dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\!\bigg(\frac{x_{0}}{2}\bigg) = \pi i \operatorname{sec}^{2}\!\bigg(\frac{x_{0}}{2}\bigg).

Resposta

\pi i \operatorname{sec}^{2}\!\bigg(\dfrac{x_{0}}{2}\bigg)

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