Seja Omega subset C um domínio tal que B(0,1)=z in C:|z| <= 1 subset Omega. Se f: Omega C é uma função holomorfa com |f^prime(0)|=1 prove que f(z)=c z, para algum c com módulo unitário.

Passo 1

A gente tem uma função holomorfa f num domínio que contém a bola fechada B(0,1), e sabe que no círculo |z|=1 vale |f(z)|=1. Queremos mostrar que f é da forma f(z)=c,z com |c|=1. O conteúdo principal é fatorar f em zeros (teorema de factorization de zeros isolados) e usar o princípio do módulo máximo.

Passo 2

Como f é holomorfa em B(0,1), os zeros de f em B(0,1) são isolados. Seja m>=0 a ordem do zero de f em 0, ou seja, podemos escrever
f(z)=z^m,g(z)
onde g é holomorfa em B(0,1) e g(0)neq0.
No círculo |z|=1 temos |f(z)|=1. Como |z^m|=1 para |z|=1, concluímos
|g(z)|=|f(z)||z|^m=1
para todo |z|=1. Então g é holomorfa e não se anula em B(0,1), e |g|=1 na fronteira.

Passo 3

Agora consideramos g e 1/g, ambos holomorfos em B(0,1) e contínuos até a fronteira. Pelo princípio do módulo máximo, |g(z)| atinge o seu máximo e mínimo na fronteira, onde vale 1. Logo |g(z)|equiv1 em B(0,1). Pela forma aberta de g (e tendo módulo constante), segue que g é constante, digamos g(z)=c com |c|=1.
Portanto
f(z)=z^m,c
Por outro lado, a derivada em zero é
f'(0)=0,&m>1,c,&m=1,0,&m=0,
Mas o enunciado diz |f'(0)|=1, então necessariamente m=1 e |c|=1. Daí
f(z)=c,zcom |c|=1

Resposta

f(z)=c,z com |c|=1

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