(2 pt pt)Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas
integral0^1 integralarcsen y^y pi2 f(x, y) d x d y

Passo 1

A gente tem a integral iterada
integraly=0^1integralx=arcsin y^x=pi y2f(x,y),dx,dy
O tema é inverter a ordem de integração. Para isso, vamos primeiro entender qual é a região R no plano xy em que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, identificamos as curvas que limitam R: de um lado temos
x=arcsin y,
e de outro
x=pi2,y
Elas são definidas para 0<= y<=1. No esboço, R é a região entre essas duas curvas, partindo do ponto (0,0) até (tfracpi2,1).

Passo 3

Agora, se fixarmos x e quisermos achar os valores possíveis de y, precisamos resolver
arcsin y<= xLongrightarrow y<=sin x
e
x<= pi2,yLongrightarrow y>= 2xpi
Além disso, sempre 0<= y<=1. Para 0<= x<=tfracpi2 vale 0<=tfrac2xpi<=1 e sin x<=1, logo
2xpi<= y<= sin x

Passo 4

Portanto, a ordem invertida é integrar y primeiro, de y=tfrac2xpi até y=sin x, e depois integrar x de 0 até tfracpi2.

Resposta

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