Verifique se o campo vetorial F(x, y)=(-yx^2+y^2, -yx^2+y^2) é conservativo em R^2-(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
vec F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r) com P(x,y)=-yx^2+y^2,; Q(x,y)=-yx^2+y^2
é conservativo em R^2setminus(0,0).
Para isso vamos usar o teste clássico: se vec F é conservativo em um domínio D, então em D (onde P e Q são C^1) vale
partial Ppartial y ;=; partial Qpartial x

Passo 2

Identificamos claramente as componentes
P(x,y)=-yx^2+y^2, Q(x,y)=-yx^2+y^2
O domínio é R^2setminus(0,0), que não é simplesmente conexo, mas antes de pensar em potencial devemos checar a condição necessária partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 3

Calculamos partial Ppartial y. Como
P(x,y)=-y,(x^2+y^2)^-1,
usamos a regra do quociente ou a regra do produto:
partial Ppartial y = -1cdot (x^2+y^2)^-1 ;+; (-y)cdot l(-1r),(x^2+y^2)^-2cdot 2y = -l(x^2+y^2r)+2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora calculamos partial Qpartial x. Como Q=P, mas a dependência de x só vem de (x^2+y^2)^-1, temos
partial Qpartial x = (-y)cdot(-1),(x^2+y^2)^-2cdot 2x = 2xy(x^2+y^2)^2

Passo 5

Comparando os resultados:
partial Ppartial y = -x^2+y^2(x^2+y^2)^2, partial Qpartial x = 2xy(x^2+y^2)^2,
vemos que
partial P/partial yneqpartial Q/partial x em geral.
Logo, o campo não satisfaz a condição necessária para ser conservativo.

Resposta

O campo vetorial vec F não é conservativo em R^2setminus(0,0).

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