Seja
o campo vetorial dado por
e
a curva
, sendo
o segmento de reta indo de
a
e
o arco do circulo
, indo de
a
.
(a) Calcule a integral
diretamente.
(a) Calcule a integral
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: temos um campo vetorial
e uma curva
dividida em duas partes:
-
: segmento de reta de a -
: arco do círculo com , indo de a
Precisamos calcular a integral de linha
diretamente. Para isso, vamos:
- Parametrizar cada parte da curva (
e ) - Calcular a integral em cada segmento
- Somar os resultados das integrais
Passo 2
Vamos começar parametrizando
, o segmento de reta de
a
. Podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Então, o vetor diferencial
é:
Passo 3
Agora, substituímos na integral para
:
Como
, simplificamos:
Então, a integral em
é zero.
Passo 4
Agora, vamos parametrizar
, o arco do círculo
com
, de
a
. Podemos usar o ângulo
como parâmetro, variando de
a
:
Então, o vetor diferencial
é:
Passo 5
Substituindo na integral para
:
Substituindo
e
:
Calculando o produto escalar:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica:
Então:
A integral fica:
Passo 7
Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Calculando os limites:
Resposta
A integral
integralC F cdot dr vale
-pi4 .