Seja F o campo vetorial dado por F=(x^2 y,-x y^2) e C a curva C=C1 cup C2, sendo C1 o segmento de reta indo de (0,0) a (0,-1) e C2 o arco do circulo x^2+y^2=1, x >= 0, indo de (0,-1) a (0,1).
(a) Calcule a integral integralC F cdot dr diretamente.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: temos um campo vetorial F = (x^2 y, -x y^2) e uma curva C dividida em duas partes:
  • C1: segmento de reta de (0,0) a (0,-1)
  • C2: arco do círculo x^2+y^2=1 com x >= 0, indo de (0,-1) a (0,1)
Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot dr diretamente. Para isso, vamos:
  1. Parametrizar cada parte da curva ( C1 e C2)
  2. Calcular a integral em cada segmento
  3. Somar os resultados das integrais

Passo 2

Vamos começar parametrizando C1, o segmento de reta de (0,0) a (0,-1). Podemos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1:
x(t) = 0
y(t) = -t
Então, o vetor diferencial dr é:
dr = (dxdt, dydt) dt = (0, -1) dt

Passo 3

Agora, substituímos na integral para C1:
integralC1 F cdot dr = integral0^1 (x(t)^2 y(t), -x(t) y(t)^2) cdot (0, -1) dt
Como x(t) = 0, simplificamos:
= integral0^1 (0, 0) cdot (0, -1) dt = integral0^1 0 , dt = 0
Então, a integral em C1 é zero.

Passo 4

Agora, vamos parametrizar C2, o arco do círculo x^2+y^2=1 com x >= 0, de (0,-1) a (0,1). Podemos usar o ângulo theta como parâmetro, variando de -pi2 a pi2:
x(theta) = costheta
y(theta) = sintheta
Então, o vetor diferencial dr é:
dr = (-sintheta, costheta) dtheta

Passo 5

Substituindo na integral para C2:
integralC2 F cdot dr = integral-pi2^pi2 (x(theta)^2 y(theta), -x(theta) y(theta)^2) cdot (-sintheta, costheta) dtheta
Substituindo x(theta) = costheta e y(theta) = sintheta:
= integral-pi2^pi2 (cos^2theta sintheta, -costheta sin^2theta) cdot (-sintheta, costheta) dtheta
Calculando o produto escalar:
= integral-pi2^pi2 (-cos^2theta sin^2theta - cos^2theta sin^2theta) dtheta
= integral-pi2^pi2 -2cos^2theta sin^2theta , dtheta

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica:
sin^2theta cos^2theta = 14 sin^2(2theta)
Então:
-2cos^2theta sin^2theta = -12 sin^2(2theta)
A integral fica:
integral-pi2^pi2 -12 sin^2(2theta) , dtheta

Passo 7

Sabemos que:
integral sin^2(atheta) , dtheta = theta2 - sin(2atheta)4a + C
Aplicando isso na nossa integral:
-12 [ theta2 - sin(4theta)8 ] g|-pi2^pi2
Calculando os limites:
-12 ( pi22 - 0 - ( -pi22 - 0 ) ) = -12 ( pi4 + pi4 ) = -12 cdot pi2 = -pi4

Resposta

A integral integralC F cdot dr vale -pi4.

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