Seja
contínua e periódica de período
.
Prove que se
é diferenciável então
é periódica de período
.
Prove que se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ que é contínua e periódica, ou seja, repete seus valores a cada período $ p $. A questão quer que a gente prove que, se $ f $ for diferenciável, então a sua derivada $ f’ $ também será periódica com o mesmo período $ p $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções periódicas e de derivadas.
Passo 2
Vamos relembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função $ f $ é periódica de período $ p $ se, para todo $ x $ no domínio da função, ela satisfaz:
Isso quer dizer que, ao adicionar o período $ p $ a qualquer entrada $ x $, a saída da função retorna ao mesmo valor.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como é definida a derivada de uma função. A derivada $ f’(x) $ de $ f $ em um ponto $ x $ é o limite:
Isso representa a taxa de variação instantânea da função $ f $ em relação a $ x $.
Passo 4
Como $ f $ é periódica de período $ p $, sabemos que:
Queremos mostrar que isso também vale para a derivada $ f’ $. Ou seja, precisamos mostrar que:
Vamos calcular $ f’(x + p) $ usando a definição da derivada.
Passo 5
Usando a definição da derivada para $ f’(x + p) $:
Simplificando dentro dos parênteses:
Mas sabemos que $ f $ é periódica, então:
Substituindo na expressão da derivada:
Portanto, mostramos que $ f’(x + p) = f’(x) $ para todo $ x $.
Resposta
A derivada $ f’ $ é periódica de período $ p $.