Suponha que a função dada é estendida periodicamente, para fora do intervalo original. Encontre a série de Fourier da função estendida. Determine a função para a qual a série converge e esboce seu gráfico por três períodos.
Passo 1
O enunciado define uma função periódica de período 2π dada em [-π,π) por f(x)=0 em [-π,−π/2) e em [π/2,π), e f(x)=1 em [-π/2,π/2). O conteúdo é série de Fourier de função par; vamos usar as fórmulas de a₀ e aₙ para funções pares.
Passo 2
Como f(x) é par, todos os bₙ são zero e a série reduz-se a f(x)=a₀/2+∑_{n=1}^∞ aₙ cos(nx). Lembrando que a₀=1piintegral-pi^pif(x),dx₀ e aₙ=1piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dxₙ.
Passo 3
Para calcular a₀ note que f(x)=1 apenas em um intervalo de comprimento π. Logo integral-pi^pif(x),dx=pi, e a₀=1₀. Portanto a₀/2=1/2.
Passo 4
Para aₙ usamos a paridade: aₙ=tfrac2piintegral0^pif(x)cos(nx),dxₙ. Como f(x)=1 em [0,π/2) e zero em [π/2,π),
aₙ=2piintegral0^pi/2cos(nx),dx=2pi nsinl(npi/2r)ₙ
Passo 5
Observando que sin(npi/2)=0 para n par e sin((2m+1)pi/2)=(-1)^m, a série fica
f(x)=12+summ=0^infty2(-1)^mpi(2m+1)cosl((2m+1)xr)
Passo 6
A série converge para f(x) nos pontos de continuidade e para tfrac0+12=1/2 nas descontinuidades em x=(2k+1)π/2. O gráfico em três períodos é um trem de pulsos retangulares de amplitude 1 em [−π/2+2kπ,π/2+2kπ] e zero no restante.
Resposta
A série de Fourier da função estendida é:
f(x)=12+2pisumm=0^infty(-1)^m2m+1cosl((2m+1)xr)
Ela converge para f(x) nos pontos de continuidade e para 1/2 em cada ponto de descontinuidade x=(2k+1)π/2. O gráfico ao longo de três períodos consiste num trem de pulsos retangulares de amplitude 1 em [−π/2+2kπ,π/2+2kπ] e valor zero no restante.