Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana.
x=sin t, y=cos (2 t), t in[0,2 pi].

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui um par de equações paramétricas: x = sin t e y = cos(2t), onde t varia de 0 a 2pi. Nosso objetivo é desenhar essa curva e descobrir a equação que relaciona x e y diretamente, sem o parâmetro t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que parâmetro t está ligado às funções trigonométricas seno e cosseno. A gente sabe que x = sin t, então podemos expressar sin t em termos de x:
sin t = x
Agora, precisamos relacionar isso com a equação do y: y = cos(2t).

Passo 3

Para conectar x e y, vamos usar uma identidade trigonométrica que envolve cos(2t). A identidade é:
cos(2t) = 1 - 2sin^2 t
Substituindo sin t por x na identidade, fica:
cos(2t) = 1 - 2x^2
Portanto, podemos escrever:
y = 1 - 2x^2

Resposta

A equação cartesiana da curva é y = 1 - 2x^2.

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