Seja f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R} uma função derivável até a ordem n em um intervalo I \subset D_{f} contendo um ponto x_{0}. O polinômio de Taylor, de ordem n, de f em torno do
ponto x_{0} \in I, é dado por
P(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2!}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\cdots+\frac{f^{n}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n} .
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 5 das seguintes funções em torno do ponto dado.
f(x)=\cos x \quad x_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de ordem 5 de f(x)=\cos x em torno de x_{0}=0. Para isso precisamos usar a definição
P_{5}(x)=\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}(x-0)^{k}
e, portanto, calcular as derivadas de \cos x até a quinta ordem e avaliá-las em 0.

Passo 2

Listamos as derivadas de f(x)=\cos x e seus valores em 0:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x,\quad &f(0)&=1,\\\ f'(x)&=-\sin x,\quad &f'(0)&=0,\\\ f''(x)&=-\cos x,\quad &f''(0)&=-1,\\\ f'''(x)&=\sin x,\quad &f'''(0)&=0,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x,\quad &f^{(4)}(0)&=1,\\\ f^{(5)}(x)&=-\sin x,\quad &f^{(5)}(0)&=0. \end{aligned}

Passo 3

Substituímos esses valores na fórmula de Taylor:
P_{5}(x) =\sum_{k=0}^{5}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k} = \frac{f(0)}{0!}x^{0}+\frac{f'(0)}{1!}x^{1}+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f'''(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^{5}.
Como f'(0)=f'''(0)=f^{(5)}(0)=0, fica
P_{5}(x) =1+\bigl(0\bigr)x+\frac{-1}{2!}x^{2}+\bigl(0\bigr)x^{3}+\frac{1}{4!}x^{4}+\bigl(0\bigr)x^{5} =1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}.

Resposta

P_{5}(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}.

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