Seja f: D=\mathbb{R} \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R} onde
f(x)=\frac{x}{x+1}
Seja x \in D. Utilizando a definição de derivada, calcule f^{\prime}(x).
Calcule f^{\prime}(x) pelas regras de derivação e compare os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a função f: D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=\frac{x}{x+1}.
Pede-se:
  • Calcular f'(x) usando a definição de derivada (limite do quociente incremental).
  • Calcular f'(x) usando as regras de derivação (método mais direto).
  • Comparar os resultados.
Informações relevantes dadas:
  • O domínio é D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}, portanto x\neq -1.
  • Para aplicar a definição com h\to 0 precisamos que x+h\neq -1 para h próximo de 0; isso é verdade para h suficientemente pequeno porque x\neq -1.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada (isso é o que cai sempre na prova): para um ponto x do domínio,
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
desde que esse limite exista. Aqui f(x+h)=\dfrac{x+h}{x+h+1} e f(x)=\dfrac{x}{x+1}. O plano é calcular explicitamente a diferença f(x+h)-f(x), simplificar, dividir por h e então tirar o limite h\to0.

Passo 3

Calcular a diferença de frações com denominador comum. Escrevo o quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1}{h}\left(\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}\right).
Agora coloco as duas frações sobre um mesmo denominador (x+h+1)(x+1):
\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1} = \frac{(x+h)(x+1)-x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}.

Passo 4

Faço as multiplicações no numerador e simplifico passo a passo:
(x+h)(x+1)=x^2+x+hx+h,
x(x+h+1)=x^2+xh+x.
Subtraindo as duas expressões:
(x+h)(x+1)-x(x+h+1)=(x^2+x+hx+h)-(x^2+xh+x).
Agora cancelei termos iguais: x^2 anula x^2, hx anula xh, e x anula x. Fica apenas
(x+h)(x+1)-x(x+h+1)=h.

Passo 5

Substituo essa simplificação na expressão do quociente incremental:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{1}{h}\cdot\frac{h}{(x+h+1)(x+1)} = \frac{1}{(x+h+1)(x+1)}.
Agora tomo o limite quando h\to0. Como a expressão é contínua em h para h próximo de 0 (lembre que x\neq -1, então x+1\neq0), tenho
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{1}{(x+h+1)(x+1)}=\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 6

Agora calculo f'(x) pelas regras de derivação para comparar. Mostro duas formas rápidas que costumam cair na prova.
Forma A — regra do quociente. Seja u(x)=x e v(x)=x+1. A regra diz
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui u'=1 e v'=1. Então
f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}.
Forma B — reescrever antes de derivar. Observação útil: \dfrac{x}{x+1}=1-\dfrac{1}{x+1}. Assim
f(x)=1-(x+1)^{-1}.
Derivando termo a termo:
f'(x)=0-(-1)(x+1)^{-2}=\frac{1}{(x+1)^2}.

Passo 7

Comparação: tanto usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) quanto usando as regras (quociente ou reescrita) obtivemos a mesma expressão
f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2},
válida para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}. Isso confirma que o cálculo pelo limite e pelo método das regras coincidem.

Passo 8

Dica para a prova (amigo falando contigo): sempre que der fração, tenta ver se a expressão simplifica como aqui (o numerador virou h magicamente) — isso torna o limite trivial. Também decorar a versão reescrita f(x)=1-(x+1)^{-1} é prático porque evita trabalho de quociente. Força aí — tu já viu o passo mais chato (a álgebra); repetir esse tipo de conta duas vezes internaliza o truque.

Resposta

f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}

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