Seja
onde
Seja
. Utilizando a definição de derivada, calcule
.
Calcule
pelas regras de derivação e compare os resultados.
Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- Calcular
usando a definição de derivada (limite do quociente incremental). - Calcular
usando as regras de derivação (método mais direto). - Comparar os resultados.
Informações relevantes dadas:
- O domínio é
, portanto . - Para aplicar a definição com
precisamos que para próximo de ; isso é verdade para suficientemente pequeno porque .
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada (isso é o que cai sempre na prova): para um ponto
do domínio,
desde que esse limite exista. Aqui
e
. O plano é calcular explicitamente a diferença
, simplificar, dividir por
e então tirar o limite
.
Passo 3
Calcular a diferença de frações com denominador comum. Escrevo o quociente incremental:
Agora coloco as duas frações sobre um mesmo denominador
:
Passo 4
Faço as multiplicações no numerador e simplifico passo a passo:
Subtraindo as duas expressões:
Agora cancelei termos iguais:
anula
,
anula
, e
anula
. Fica apenas
Passo 5
Substituo essa simplificação na expressão do quociente incremental:
Agora tomo o limite quando
. Como a expressão é contínua em
para
próximo de
(lembre que
, então
), tenho
Passo 6
Agora calculo
pelas regras de derivação para comparar. Mostro duas formas rápidas que costumam cair na prova.
Forma A — regra do quociente. Seja
e
. A regra diz
Aqui
e
. Então
Forma B — reescrever antes de derivar. Observação útil:
. Assim
Derivando termo a termo:
Passo 7
Comparação: tanto usando a definição de derivada (limite do quociente incremental) quanto usando as regras (quociente ou reescrita) obtivemos a mesma expressão
válida para todo
. Isso confirma que o cálculo pelo limite e pelo método das regras coincidem.
Passo 8
Dica para a prova (amigo falando contigo): sempre que der fração, tenta ver se a expressão simplifica como aqui (o numerador virou
magicamente) — isso torna o limite trivial. Também decorar a versão reescrita
é prático porque evita trabalho de quociente. Força aí — tu já viu o passo mais chato (a álgebra); repetir esse tipo de conta duas vezes internaliza o truque.