Usando o método de separação de variáveis, encontre a solução u=u(x, t) da equação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei tudo do enunciado):
A equação parcial
u_{x x}=u_{t t}+4 u_{t},\quad 0<x<\pi,\\ t>0.
Condições de contorno (bordo):
u(0,t)=u(\pi,t)=0,\quad t>0.
Condições iniciais:
u(x,0)=0,\quad 0<x<\pi,
u_{t}(x,0)=3\sin(2x),\quad 0<x<\pi.
O que é pedido:
Encontrar a solução u(x,t) para x\in(0,\pi), t>0 usando separação de variáveis (ou expansão em autovetores).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
Como as condições de contorno são homogêneas u(0,t)=u(\pi,t)=0, é natural expandir u(x,t) em série de senos (base que satisfaz a condição de Dirichlet).
Escreve-se uma série de separação/expansão:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\sin(nx),
onde cada \sin(nx) satisfaz \sin(n\cdot0)=0 e \sin(n\pi)=0.
Explicando: aqui a_n(t) são coeficientes dependentes de tempo; a série é uma combinação linear de modos espaciais \sin(nx). A ortogonalidade dos senos permite isolar cada modo.
Passo 3
Substituir a expansão na PDE para obter ODEs para os coeficientes a_n(t).
Montar a solução completa u(x,t) usando que somente o modo n=2 aparece.
Como a_n(t)=0 para n\ne2 e a_2(t)=3t e^{-2t}, a solução é
u(x,t)=a_2(t)\sin(2x)=3t e^{-2t}\sin(2x).
Interpretação final curta: a resposta é um único modo espacial \sin(2x) amortecido exponencialmente multiplicado por t devido à degenerescência (raiz dupla) da equação temporal.