1. Considere a equação diferencial parcial:
\begin{cases}u_{x x}=u_{t t}+4 u_{t}, & 0<x<\pi, t>0 \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=0, & 0<x<\pi \\\ u_{t}(x, 0)=3 \sin (2 x), & 0<x<\pi\end{cases}
Usando o método de separação de variáveis, encontre a solução u=u(x, t) da equação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei tudo do enunciado):
    • A equação parcial
    u_{x x}=u_{t t}+4 u_{t},\quad 0<x<\pi,\\ t>0.
    • Condições de contorno (bordo):
    u(0,t)=u(\pi,t)=0,\quad t>0.
    • Condições iniciais:
    u(x,0)=0,\quad 0<x<\pi,
u_{t}(x,0)=3\sin(2x),\quad 0<x<\pi.
  • O que é pedido:
    • Encontrar a solução u(x,t) para x\in(0,\pi), t>0 usando separação de variáveis (ou expansão em autovetores).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Como as condições de contorno são homogêneas u(0,t)=u(\pi,t)=0, é natural expandir u(x,t) em série de senos (base que satisfaz a condição de Dirichlet).
  • Escreve-se uma série de separação/expansão:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)\sin(nx),
onde cada \sin(nx) satisfaz \sin(n\cdot0)=0 e \sin(n\pi)=0.
  • Explicando: aqui a_n(t) são coeficientes dependentes de tempo; a série é uma combinação linear de modos espaciais \sin(nx). A ortogonalidade dos senos permite isolar cada modo.

Passo 3

Substituir a expansão na PDE para obter ODEs para os coeficientes a_n(t).
  • Calcular as derivadas:
u_{x x}=\sum_{n=1}^{\infty}(-n^2)a_n(t)\sin(nx),
u_{t t}+4u_t=\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n''(t)+4a_n'(t)\big)\sin(nx).
  • Igualando termo a termo (por ortogonalidade das \sin(nx)) obtemos, para cada n,
a_n''(t)+4a_n'(t)+n^2 a_n(t)=0.
  • Comentário: é uma equação diferencial ordinária linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes, para cada modo n.

Passo 4

Obter os coeficientes iniciais [a_n(0)) e a_n'(0) a partir das condições iniciais usando ortogonalidade.
  • Fórmula para coeficientes de uma função f(x) escrita em base \{\sin(nx)\}:
\text{se } f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx),\quad\text{então } b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.ã
  • Aplicar a u(x,0)=0
a_n(0)=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi 0\cdot\sin(nx)\,dx=0.
  • Aplicar a u_t(x,0)=3\sin(2x)
a_n'(0)=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi 3\sin(2x)\sin(nx)\,dx.
  • Usar ortogonalidade: \int_0^\pi \sin(2x)\sin(nx)\,dx=0 para n\ne 2 e =\dfrac{\pi}{2} para n=2. Logo
a_n'(0)=\begin{cases} 3, & n=2,\\[4pt] 0, & n\ne 2. \end{cases}
  • Conclusão: apenas o modo (n=2] é excitado; todos os outros têm condições iniciais zero.]

Passo 5

Resolver a ODE do modo n\ne 2 (caso geral) e depois o caso n=2.
  • Para n\ne 2 temos a equação homogênea com condições iniciais nulas:
a_n''+4a_n'+n^2 a_n=0,\quad a_n(0)=0,\\ a_n'(0)=0.
  • A solução dessa ODE linear com condições nulas é a_n(t)\equiv 0. Logo só resta resolver para n=2.

Passo 6

Resolver a ODE para n=2 com as condições iniciais a_2(0)=0, a_2'(0)=3.
  • A equação para n=2 é
a_2''(t)+4a_2'(t)+4a_2(t)=0.
  • Formar a equação característica: r^2+4r+4=0. Isso fatoriza como (r+2)^2=0. Então há raiz dupla r=-2.
  • Para raiz dupla r=-2, a solução geral é
a_2(t)=(C_1+C_2 t)e^{-2t},
onde C_1,C_2 são constantes a determinar.

Passo 7

Aplicar as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
  • De a_2(0)=0 obtemos
C_1+ C_2\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_1=0.
  • Calcular a_2'(t). Com C_1=0,
a_2(t)=C_2 t e^{-2t}.
a_2'(t)=C_2 e^{-2t} + C_2 t(-2)e^{-2t}=C_2(1-2t)e^{-2t}.
  • Avaliar em t=0:
a_2'(0)=C_2\cdot 1\cdot e^{0}=C_2.
Impor a_2'(0)=3 C_2=3.
  • Assim
a_2(t)=3t e^{-2t}.

Passo 8

Montar a solução completa u(x,t) usando que somente o modo n=2 aparece.
  • Como a_n(t)=0 para n\ne2 e a_2(t)=3t e^{-2t}, a solução é
u(x,t)=a_2(t)\sin(2x)=3t e^{-2t}\sin(2x).
  • Interpretação final curta: a resposta é um único modo espacial \sin(2x) amortecido exponencialmente multiplicado por t devido à degenerescência (raiz dupla) da equação temporal.

Resposta

u(x,t)=3t e^{-2t}\sin(2x)

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