(a) (1,0) Seja f: D \rightarrow \mathbb{R} onde D \subseteq \mathbb{R}^{2} é um subconjunto aberto. Dado (a, b) \in D defina continuidade da f no ponto (a, b). Quando dizemos que f é contínua em D ?
(b) (1,0) Determine os pontos de continuidade de
g(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) \end{array} \quad\right. \text { CS(UDAR }

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pergunta (a): Foi dado um conjunto aberto D\subseteq\mathbb{R}^2\) e uma função \(f:D\to\mathbb{R}\). Pede-se a definição de continuidade de \(f\) no ponto \((a,b)\in D\) e a definição do que significa dizer que \(f\) é contínua em \(D\). - Pergunta (b): A função \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) é dada por \[g(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Pede-se determinar os pontos de continuidade de g\] (ou seja, para quais pontos \((x,y) a função é contínua).]

Passo 2

Definição precisa de continuidade num ponto (aula rápida e formal, com explicação do significado das quantidades).
  • Definição epsilon-delta: Dizemos que f é contínua no ponto (a,b)\in D se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que
\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta
e (x,y)\in D, então
|f(x,y)-f(a,b)|<\varepsilon.
Explicação: a quantidade \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} é a distância euclidiana entre (x,y) e (a,b). A definição diz: se escolhermos pontos (x,y) suficientemente próximos de (a,b) (mais especificamente, dentro de um raio \delta), então os valores f(x,y) ficam tão próximos de f(a,b) quanto quisermos (dentro de \varepsilon).
  • Continuidade em D: Dizemos que f é contínua em D quando f é contínua em todo ponto (a,b)\in D (isto é, a condição acima vale para cada ponto do domínio).
Observação alternativa (útil na prova): continuidade em (a,b) é equivalente a \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b). Também é equivalente a: para toda sequência (x_n,y_n)\in D com (x_n,y_n)\to(a,b) tem-se f(x_n,y_n)\to f(a,b).

Passo 3

Análise da continuidade de g em pontos (x,y)\neq(0,0).
  • Para (x_0,y_0)\neq(0,0) temos x_0^2+y_0^2>0. A expressão
\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
é uma razão de funções polinomiais (produto e soma de x e y). Polinômios são contínuos; a razão de duas funções contínuas é contínua onde o denominador é diferente de zero. Como x_0^2+y_0^2\neq0, existe um pequeno raio ao redor de (x_0,y_0) em que x^2+y^2 permanece não nulo, logo a fórmula vale nessa vizinhança e g coincide com uma função racional contínua ali. Portanto g é contínua em todo ponto (x_0,y_0) com (x_0,y_0)\neq(0,0).
(Dito de forma mais crua: não há problema de divisão por zero exceto em (0,0); fora de (0,0) a expressão é composta por operações contínuas.)

Passo 4

Análise da continuidade de g no ponto (0,0).
  • Precisamos verificar se \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=g(0,0)=0.
  • Para (x,y)\neq(0,0) calcule o módulo:
\left|g(x,y)\right|=\left|\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|.
Use a desigualdade básica |x|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}} (porque x^{2}\le x^{2}+y^{2}). Então
\left|g(x,y)\right| \le \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Note que \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\le 1 (denominador maior ou igual ao numerador), portanto
\left|g(x,y)\right|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Agora fica fácil fazer o argumento epsilon-delta: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, pela desigualdade,
\left|g(x,y)-0\right|=\left|g(x,y)\right|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta=\varepsilon.
Logo \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y)=0=g(0,0). Portanto g é contínua em (0,0).
Observação intuitiva: em coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) a expressão para (x,y)\neq0 fica
g(x,y)=\frac{(r\cos\theta)(r^{2}\sin^{2}\theta)}{r^{2}}=r\cos\theta\sin^{2}\theta,
cujo módulo é |r\cos\theta\sin^{2}\theta|\le r. Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), a função tende a 0. (Mesma ideia da desigualdade usada acima.)

Passo 5

Conclusão final e incentivo rápido.
  • Juntando os passos: g é contínua em todo ponto fora de (0,0) porque ali é uma razão de polinômios com denominador não nulo; em (0,0) mostramos diretamente que o limite é 0, igual ao valor definido. Portanto g é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
Vai dar certo — essas verificações são exatamente as que costumam cair na prova: mostrar continuidade fora dos pontos problemáticos por operações algébricas e checar o ponto crítico com uma desigualdade simples (ou coordenadas polares) e um argumento epsilon-delta.

Resposta

(a) f é contínua no ponto (a,b)\in D se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que sempre que \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta e (x,y)\in D então |f(x,y)-f(a,b)|<\varepsilon. f é contínua em D quando é contínua em todo ponto de D.
(b) g é contínua em todo \mathbb{R}^{2} (ou seja, em todos os pontos (x,y), incluindo (0,0)).

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