Seja f: D subseteq R^2 R uma função contínua, cujas derivadas até a segunda ordem são contínuas tal que De em D. Mostre que
ointpartial D(fy d x-fx d y)=0

Passo 1

A função dada é harmonic, ou seja, satisfaz De em D, e queremos mostrar que o integral de linha ointpartial D(fy,dx - fx,dy) vale zero. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona integrals de linha a integrals duplos.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para funções P(x,y) e Q(x,y) com derivadas contínuas em D e contorno partial D positivamente orientado, vale:
ointpartial DP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x - partial Ppartial yr)dA
No nosso caso, identificamos as funções no integrando como
$$
P(x,y) = f_y(x,y),
$$
P(x,y) = fy(x,y),

Passo 3

Então calculamos o termo interno do duplo integral:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = -fxx - fyy = -l(fxx + fyyr) = -De
Como De por hipótese, o integrando é zero em todo D. Portanto, o teorema de Green garante que o integral de contorno também seja zero.

Resposta

0

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