Seja
uma função contínua, cujas derivadas até a segunda ordem são contínuas tal que
em
. Mostre que
Passo 1
A função dada é harmonic, ou seja, satisfaz
em
, e queremos mostrar que o integral de linha
vale zero. O conteúdo principal é o Teorema de Green, que relaciona integrals de linha a integrals duplos.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para funções
e
com derivadas contínuas em
e contorno
positivamente orientado, vale:
No nosso caso, identificamos as funções no integrando como
$$
P(x,y) = f_y(x,y),
$$
Passo 3
Então calculamos o termo interno do duplo integral:
Como
por hipótese, o integrando é zero em todo
. Portanto, o teorema de Green garante que o integral de contorno também seja zero.
Resposta
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