Com as hipóteses do exercício precedente, mostre que
para qualquer função
, com derivadas parciais de
ordem contínuas em
.
Passo 1
Temos uma função f:D→ℝ com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em D e f é harmônica, ou seja, satisfaz
. O contorno ∂ν de D é suave (classe C¹) e g:D→ℝ tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Queremos mostrar que
Passo 2
Para aplicar o Teorema de Green, reescrevemos o integrando na forma
. Observe que
Logo, definimos
Passo 3
Pelo Teorema de Green, temos
Ou seja,
Passo 4
Agora expandimos as derivadas parciais:
Logo,
$$Q_{x} - P_{y} = g_{x}f_{x} + g,f_{xx} + g_{y}f_{y} + g,f_{yy}.
$$
Passo 5
Como f é harmônica,
. Portanto o termo
zera, sobrando
$$Q_{x} - P_{y} = g_{x}f_{x} + g_{y}f_{y}.
$$
Passo 6
Substituindo de volta na integral dupla, concluímos que
$$\int_{\partial \nu}(f_{x},dy - f_{y},dx),g = \iint_{D}(g_{x}f_{x} + g_{y}f_{y}),dx,dy,
$$
como queríamos demonstrar.
como queríamos demonstrar.