Com as hipóteses do exercício precedente, mostre que
integralpartial nu(fx d y-fy d x) g=integral duplaD(gx fx+gy fy) d x d y
para qualquer função g: D subseteq R^2 R, com derivadas parciais de 1^ ä ä ordem contínuas em D.

Passo 1

Temos uma função f:D→ℝ com derivadas parciais de segunda ordem contínuas em D e f é harmônica, ou seja, satisfaz fxx+fyy=0. O contorno ∂ν de D é suave (classe C¹) e g:D→ℝ tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Queremos mostrar que
integralpartial nu(fx,dy - fy,dx),g = integral duplaD(gxfx + gyfy),dx,dy

Passo 2

Para aplicar o Teorema de Green, reescrevemos o integrando na forma P,dx + Q,dy. Observe que
gl(fx,dy - fy,dxr) = (-g,fy),dx + (g,fx),dy
Logo, definimos
P = -g,fy, Q = g,fx

Passo 3

Pelo Teorema de Green, temos
integralpartial nuP,dx + Q,dy = integral duplaDl(Qx - Pyr),dx,dy
Ou seja,
integralpartial nu(fx,dy - fy,dx),g = integral duplaDl((g,fx)x - (-g,fy)yr),dx,dy

Passo 4

Agora expandimos as derivadas parciais:
(g,fx)x = gxfx + g,fxx,
(-g,fy)y = -gyfy - g,fyy
Logo,
$$Q_{x} - P_{y} = g_{x}f_{x} + g,f_{xx} + g_{y}f_{y} + g,f_{yy}.
$$

Passo 5

Como f é harmônica, fxx + fyy = 0. Portanto o termo g,(fxx+fyy) zera, sobrando
$$Q_{x} - P_{y} = g_{x}f_{x} + g_{y}f_{y}.
$$

Passo 6

Substituindo de volta na integral dupla, concluímos que
$$\int_{\partial \nu}(f_{x},dy - f_{y},dx),g = \iint_{D}(g_{x}f_{x} + g_{y}f_{y}),dx,dy,
$$
como queríamos demonstrar.

Resposta

integralpartial nu(fx,dy - fy,dx),g = integral duplaD(gxfx + gyfy),dx,dy

Exercícios relacionados