Use o Teorema de Stokes para calcular , onde é o campo vetorial e é a fronteira do paralelogramo com vértices e orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha , onde é um campo vetorial dado por . A curva é a fronteira de um paralelogramo com vértices em , , e , orientada no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por . Então, basicamente, vamos achar o rotacional de , definir uma superfície que tenha como fronteira, e calcular a integral de superfície do rotacional de sobre .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de , que é . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos aplicar isso ao nosso :
Calculando cada componente:
Então,
Passo 3
Agora, precisamos definir a superfície que tem como fronteira. Olhando para os vértices fornecidos, podemos perceber que eles formam um paralelogramo no espaço tridimensional. Vamos parametrizar essa superfície para facilitar os cálculos.
Podemos escolher uma parametrização linear baseada nos vetores que definem o paralelogramo. Vamos escolher o ponto como ponto inicial e usar os vetores que vão para e para definir a superfície.
Então, podemos parametrizar da seguinte forma:
onde e variam de a para cobrir todo o paralelogramo.
Passo 4
O próximo passo é achar o vetor normal à superfície . Para isso, podemos calcular o produto vetorial dos vetores que definem a parametrização.
Os vetores são:
O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície:
= -2i - 2j - 2k
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
n = (1, 1, 1)
Esse é o vetor normal à superfície S.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Já calculamos nabla times F = (-z, 0, x) e o vetor normal n = (1, 1, 1). Agora, precisamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n: