Use o Teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d S, onde F é o campo vetorial C e (0,0,1),(0,1,0),(2,0,-1) é a fronteira do paralelogramo com vértices (2,1,-2) e orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha ointC F cdot dS, onde F é um campo vetorial dado por F(x, y, z) = (xy, x^2 + y^2 + z^2, yz). A curva C é a fronteira de um paralelogramo com vértices em (0,0,1), (0,1,0), (2,0,-1) e (2,1,-2), orientada no sentido anti-horário.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S limitada por C. Então, basicamente, vamos achar o rotacional de F, definir uma superfície S que tenha C como fronteira, e calcular a integral de superfície do rotacional de F sobre S.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. O rotacional de um campo vetorial F = (P, Q, R) é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
Vamos aplicar isso ao nosso F:
F = (xy, x^2 + y^2 + z^2, yz)
Calculando cada componente:
  • partial Rpartial y = partial (yz)partial y = z
  • partial Qpartial z = partial (x^2 + y^2 + z^2)partial z = 2z
  • partial Ppartial z = partial (xy)partial z = 0
  • partial Rpartial x = partial (yz)partial x = 0
  • partial Qpartial x = partial (x^2 + y^2 + z^2)partial x = 2x
  • partial Ppartial y = partial (xy)partial y = x
Então,
nabla times F = ( z - 2z, 0 - 0, 2x - x ) = (-z, 0, x)

Passo 3

Agora, precisamos definir a superfície S que tem C como fronteira. Olhando para os vértices fornecidos, podemos perceber que eles formam um paralelogramo no espaço tridimensional. Vamos parametrizar essa superfície para facilitar os cálculos.
Podemos escolher uma parametrização linear baseada nos vetores que definem o paralelogramo. Vamos escolher o ponto (0,0,1) como ponto inicial e usar os vetores que vão para (0,1,0) e (2,0,-1) para definir a superfície.
Então, podemos parametrizar S da seguinte forma:
r(s, t) = (0,0,1) + s(0,1,-1) + t(2,0,-2)
onde s e t variam de 0 a 1 para cobrir todo o paralelogramo.

Passo 4

O próximo passo é achar o vetor normal n à superfície S. Para isso, podemos calcular o produto vetorial dos vetores que definem a parametrização.
Os vetores são:
a = partial rpartial s = (0,1,-1)
b = partial rpartial t = (2,0,-2)
O produto vetorial a times b nos dá um vetor normal à superfície:
a times b = i & j & k 0 & 1 & -1 2 & 0 & -2 = i(1 cdot (-2) - (-1) cdot 0) - j(0 cdot (-2) - (-1) cdot 2) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 2)
= -2i - 2j - 2k
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
n = (1, 1, 1)
Esse é o vetor normal à superfície S.

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Já calculamos nabla times F = (-z, 0, x) e o vetor normal n = (1, 1, 1). Agora, precisamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(-z, 0, x) cdot (1, 1, 1) = -z cdot 1 + 0 cdot 1 + x cdot 1 = -z + x
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS (-z + x) , dS

Passo 6

Para calcular essa integral, precisamos expressar x e z em termos dos parâmetros s e t da parametrização da superfície.
A parametrização que usamos foi:
r(s, t) = (0,0,1) + s(0,1,-1) + t(2,0,-2) = (2t, s, 1 - s - 2t)
Portanto:
x = 2t
z = 1 - s - 2t
Substituindo na expressão -z + x:
- (1 - s - 2t) + 2t = -1 + s + 2t + 2t = -1 + s + 4t
Agora, a integral se torna:
integral duplaS (-1 + s + 4t) , |n| , ds , dt
Precisamos do módulo do vetor normal. Como n = (1,1,1), temos:
|n| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Então, a integral fica:
raiz3 integral duplaD (-1 + s + 4t) , ds , dt
onde D é o domínio dos parâmetros s e t, ambos variando de 0 a 1.

Passo 7

Vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD (-1 + s + 4t) , ds , dt = integral0^1 integral0^1 (-1 + s + 4t) , ds , dt
Primeiro, integramos em relação a s:
integral0^1 (-1 + s + 4t) , ds = [ -s + s^22 + 4t s ]0^1 = (-1 + 12 + 4t) - (0) = -12 + 4t
Agora, integramos em relação a t:
integral0^1 ( -12 + 4t ) dt = [ -12 t + 2t^2 ]0^1 = ( -12 + 2 ) - 0 = 32

Passo 8

Voltando à integral original, temos:
raiz3 times 32 = 3raiz32

Resposta

3raiz32

Exercícios relacionados