Verifique o Teorema do Divergente para o campo vetorial
e superfície
dada pelo cilindro
mais as tampas circulares de cima e de baixo do cilindro. Assuma que
é positivamente orientada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar o Teorema do Divergente para o campo vetorial
e a superfície
que é um cilindro com a equação
entre
e
, incluindo as tampas de cima e de baixo. O Teorema do Divergente conecta o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada
com a integral da divergência desse campo no volume limitado por
. Vamos precisar calcular a divergência de
e realizar duas integrais: uma sobre a superfície
e outra sobre o volume dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência, denotada por
, é dada por:
Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o volume
delimitado pelo cilindro
. Como a divergência é constante e igual a 2, a integral fica:
O volume de um cilindro é dado por:
Para nosso cilindro,
e
, então:
Portanto, a integral de volume é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo através da superfície
. Como
é composto pelo corpo do cilindro e pelas duas tampas, podemos calcular separadamente.
-
Corpo do cilindro (
):
Neste caso, a normal é radialmente para fora. Usando coordenadas cilíndricas, onde, , e varia de 0 a 3, o vetor normal é . O fluxo será:Substituindoe : Simplificando e integrando, obtemos um fluxo que, após os cálculos, resulta em. -
Tampa de cima (
):
A normal é. O fluxo será:Integrando sobre a área do círculo, que devido à simetria, os termos come se anulam, resultando em . -
Tampa de baixo (
):
A normal é. O fluxo será:Novamente, devido à simetria, os termos come se anulam, resultando em .
Somando todos os fluxos:
Resposta
A verificação do Teorema do Divergente para o campo vetorial dado e a superfície
resulta em
para ambos os lados da equação, confirmando que o teorema está correto.