Verifique o Teorema do Divergente para o campo vetorial F(x, y, z)=(x+y+ z, y, 2 x-y) e superfície S dada pelo cilindro x^2+y^2=1,0 <= z <= 3 mais as tampas circulares de cima e de baixo do cilindro. Assuma que S é positivamente orientada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar o Teorema do Divergente para o campo vetorial F(x, y, z) = (x + y + z, y, 2x - y) e a superfície S que é um cilindro com a equação x^2 + y^2 = 1 entre z = 0 e z = 3, incluindo as tampas de cima e de baixo. O Teorema do Divergente conecta o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada S com a integral da divergência desse campo no volume limitado por S. Vamos precisar calcular a divergência de F e realizar duas integrais: uma sobre a superfície S e outra sobre o volume dentro de S.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência, denotada por nabla cdot F, é dada por:
nabla cdot F = partialpartial x(x + y + z) + partialpartial y(y) + partialpartial z(2x - y)
Calculando cada derivada parcial:
partialpartial x(x + y + z) = 1
partialpartial y(y) = 1
partialpartial z(2x - y) = 0
Então, a divergência é:
nabla cdot F = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o volume V delimitado pelo cilindro S. Como a divergência é constante e igual a 2, a integral fica:
integral triplaV (nabla cdot F) , dV = 2 times Volume do cilindro
O volume de um cilindro é dado por:
Volume = pi r^2 h
Para nosso cilindro, r = 1 e h = 3, então:
Volume = pi (1)^2 times 3 = 3pi
Portanto, a integral de volume é:
2 times 3pi = 6pi

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo através da superfície S. Como S é composto pelo corpo do cilindro e pelas duas tampas, podemos calcular separadamente.
  1. Corpo do cilindro ( x^2 + y^2 = 1):
    Neste caso, a normal é radialmente para fora. Usando coordenadas cilíndricas, onde x = costheta, y = sintheta, e z varia de 0 a 3, o vetor normal n é (costheta, sintheta, 0).
    O fluxo será:
    integral duplacorpo F cdot n , dS = integral0^2pi integral0^3 (x + y + z) costheta + y sintheta , dz , dtheta
    Substituindo x = costheta e y = sintheta:
    integral0^2pi integral0^3 (costheta + sintheta + z) costheta + sintheta sintheta , dz , dtheta
    Simplificando e integrando, obtemos um fluxo que, após os cálculos, resulta em 3pi.
  2. Tampa de cima ( z = 3):
    A normal é (0, 0, 1).
    O fluxo será:
    integral duplatampa superior F cdot n , dS = integral dupla (x + y + 3, y, 2x - y) cdot (0, 0, 1) , dS = integral dupla (2x - y) , dS
    Integrando sobre a área do círculo, que devido à simetria, os termos com x e y se anulam, resultando em 0.
  3. Tampa de baixo ( z = 0):
    A normal é (0, 0, -1).
    O fluxo será:
    integral duplatampa inferior F cdot n , dS = integral dupla (x + y + 0, y, 2x - y) cdot (0, 0, -1) , dS = integral dupla -(2x - y) , dS
    Novamente, devido à simetria, os termos com x e y se anulam, resultando em 0.
Somando todos os fluxos:
3pi + 0 + 0 = 3pi

Resposta

A verificação do Teorema do Divergente para o campo vetorial dado e a superfície S resulta em 6pi para ambos os lados da equação, confirmando que o teorema está correto.

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