Seja
f é diferenciável em 1 ?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: f é diferenciável em 1?
Conteúdo da matéria: Estamos falando de diferenciabilidade, que é uma propriedade que diz que uma função tem uma derivada (ou seja, uma inclinação) naquele ponto.
O que precisamos para resolver:
- Verificar se a função é contínua em $ x = 1 $.
- Calcular as derivadas da esquerda e da direita em $ x = 1 $ e ver se elas são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em $ x = 1 $. Para isso, precisamos que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao valor da função em 1, e também igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita.
Calculando o limite pela esquerda ($ x \to 1^- $):
Como $ x \leq 1 $, usamos $ f(x) = x^{2} $.
Como $ x \leq 1 $, usamos $ f(x) = x^{2} $.
Valor da função em 1:
Calculando o limite pela direita ($ x \to 1^+ $):
Como $ x > 1 $, usamos $ f(x) = 1 $.
Como $ x > 1 $, usamos $ f(x) = 1 $.
Como todos os limites e o valor da função em 1 são iguais a 1, a função é contínua em $ x = 1 $.
Passo 3
Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em $ x = 1 $ e ver se elas são iguais.
Derivada pela esquerda ($ f’(1^-) $):
Usamos $ f(x) = x^{2} $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $.
Usamos $ f(x) = x^{2} $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $.
Derivada pela direita ($ f’(1^+) $):
Usamos $ f(x) = 1 $. A derivada de uma constante é 0.
Usamos $ f(x) = 1 $. A derivada de uma constante é 0.
Passo 4
Comparando as derivadas:
Como $ 2 \neq 0 $, as derivadas pela esquerda e pela direita em $ x = 1 $ são diferentes.
Resposta
Não, a função $ f $ não é diferenciável em $ x = 1 $.