Seja
f é diferenciável em 1 ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = x^2 & se x <= 1 1 & se x > 1
A pergunta é: f é diferenciável em 1?
Conteúdo da matéria: Estamos falando de diferenciabilidade, que é uma propriedade que diz que uma função tem uma derivada (ou seja, uma inclinação) naquele ponto.
O que precisamos para resolver:
  1. Verificar se a função é contínua em $ x = 1 $.
  2. Calcular as derivadas da esquerda e da direita em $ x = 1 $ e ver se elas são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em $ x = 1 $. Para isso, precisamos que o limite da função quando $ x $ se aproxima de 1 pela esquerda seja igual ao valor da função em 1, e também igual ao limite quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita.
Calculando o limite pela esquerda ($ x \to 1^- $):
Como $ x \leq 1 $, usamos $ f(x) = x^{2} $.
x = 1
Valor da função em 1:
x
Calculando o limite pela direita ($ x \to 1^+ $):
Como $ x > 1 $, usamos $ f(x) = 1 $.
x
Como todos os limites e o valor da função em 1 são iguais a 1, a função é contínua em $ x = 1 $.

Passo 3

Agora, vamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, precisamos calcular a derivada pela esquerda e pela direita em $ x = 1 $ e ver se elas são iguais.
Derivada pela esquerda ($ f’(1^-) $):
Usamos $ f(x) = x^{2} $. A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $.
x = 1
Derivada pela direita ($ f’(1^+) $):
Usamos $ f(x) = 1 $. A derivada de uma constante é 0.
f'(1^-)

Passo 4

Comparando as derivadas:
f'(1^-) = 2 f'(1^+) = 0
Como $ 2 \neq 0 $, as derivadas pela esquerda e pela direita em $ x = 1 $ são diferentes.

Resposta

Não, a função $ f $ não é diferenciável em $ x = 1 $.

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