Seja f duas vezes derivável. Usando o critério da segunda derivada, mostre que f é côncava e convexa simultaneamente se, e somente se, o gráfico de f é uma reta.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma função f é duas vezes derivável e satisfaz simultaneamente as condições de concavidade e convexidade (no sentido da segunda derivada), então o gráfico de f é uma reta, e recíproco. Vamos usar o critério de segunda derivada: f é convexa quando f''(x)>=0 e côncava quando f''(x)<=0.

Passo 2

Como f é convexa e côncava ao mesmo tempo, devemos ter f''(x)>=0 e f''(x)<=0 para todo x no domínio. Dessa forma, conclui-se que
f''(x)=0para todo x

Passo 3

Integrando essa igualdade duas vezes, primeiro obtemos que f'(x) é constante e depois que f(x) é uma função afim. Ou seja, existem constantes a,b tais que
f(x)=a,x+b

Passo 4

Para a recíproca, se f(x)=a x+b então f''(x)=0, logo f''(x)>=0 e f''(x)<=0, o que mostra que f é ao mesmo tempo convexa e côncava.

Resposta

A condição de f''(x)=0 implica f(x)=a x+b, ou seja, o gráfico de f é uma reta, e vice-versa.

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