Seja
duas vezes derivável. Usando o critério da segunda derivada, mostre que
é côncava e convexa simultaneamente se, e somente se, o gráfico de
é uma reta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma função
é duas vezes derivável e satisfaz simultaneamente as condições de concavidade e convexidade (no sentido da segunda derivada), então o gráfico de
é uma reta, e recíproco. Vamos usar o critério de segunda derivada:
é convexa quando
e côncava quando
.
Passo 2
Como
é convexa e côncava ao mesmo tempo, devemos ter
e
para todo
no domínio. Dessa forma, conclui-se que
Passo 3
Integrando essa igualdade duas vezes, primeiro obtemos que
é constante e depois que
é uma função afim. Ou seja, existem constantes
tais que
Passo 4
Para a recíproca, se
então
, logo
e
, o que mostra que
é ao mesmo tempo convexa e côncava.
Resposta
A condição de
implica
, ou seja, o gráfico de
é uma reta, e vice-versa.