x y^prime prime(x)+(1-x) y^prime(x)+(nu+lambda) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Supondo y(0)=6 e nu+lambda=3, determine y(x).

Passo 1

Temos a equação diferencial
i x y’’(x)+(1-x)y’(x)+(
u+\lambda)y(x)=0, com nu+lambda=3 e condição y(0)=6. O conteúdo aqui é usar séries de potências em torno de x=0 para achar uma solução analítica (é, na prática, a equação de Laguerre de ordem 3).

Passo 2

Como x=0 é um ponto singular regular, assumimos uma solução do tipo
y(x)=sumn=0^infty anx^n
Então
y'(x)=sumn=1^infty n anx^n-1,
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2

Passo 3

Substituindo na equação (com nu+lambda=3):
x y''+(1-x)y'+3y=0
temos
sumn=2^infty n(n-1)anx^n-1+ sumn=1^infty n anx^n-1- sumn=1^infty n anx^n+3sumn=0^infty anx^n=0
Reindexando os somatórios para alinhar potências x^m e coletando termos, obtemos a relação de recorrência
(m+1)^2am+1+(3-m)am=0,
o que dá
am+1=m-3(m+1)^2,am,
para todo m>=0.

Passo 4

Do termo independente x^0 vem
1^2a1+(3-0)a0=0
Logo a1=-3a0. Pela condição y(0)=6 temos a0=6, então
a1=-18
Em seguida, usando a recorrência:
a2=1-32^2a1=-24(-18)=9, a3=2-33^2a2=-19cdot9=-1, a4=3-34^2a3=0,
e portanto todos os an para n>=4 são zero. A série termina no grau 3.

Passo 5

Como a série para y(x) acaba em n=3, temos
y(x)=a_0+a_1x+a_2x2+a_3x3=6-18x+9x^2 -x^3.

Resposta

y(x)=6-18x+9x^2 -x^3

Exercícios relacionados