O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências. Supondo
e
, determine
.
Passo 1
Temos a equação diferencial
i x y’’(x)+(1-x)y’(x)+(
i x y’’(x)+(1-x)y’(x)+(
u+\lambda)y(x)=0, com
e condição
. O conteúdo aqui é usar séries de potências em torno de
para achar uma solução analítica (é, na prática, a equação de Laguerre de ordem 3).
Passo 2
Como
é um ponto singular regular, assumimos uma solução do tipo
Então
Passo 3
Substituindo na equação (com
):
temos
Reindexando os somatórios para alinhar potências
e coletando termos, obtemos a relação de recorrência
o que dá
para todo
.
Passo 4
Do termo independente
vem
Logo
. Pela condição
temos
, então
Em seguida, usando a recorrência:
e portanto todos os
para
são zero. A série termina no grau 3.
Passo 5
Como a série para
acaba em
, temos
y(x)=a_0+a_1x+a_2x2+a_3x3=6-18x+9x^2 -x^3.
y(x)=a_0+a_1x+a_2x2+a_3x3=6-18x+9x^2 -x^3.