Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de
.
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
no espaço vetorial de todas as funções reais de variável real, usando o critério de Wronskiano para dependência/independência linear. Depois, devemos determinar a dimensão do subespaço que esse conjunto gera.
no espaço vetorial
Passo 2
Lembrando que
vemos imediatamente que
é combinação linear de
e
. Em particular,
Isso mostra que há coeficientes não todos nulos (por exemplo
,
,
) tais que
para todo
.
Passo 3
Como encontramos uma combinação linear não trivial que se anula identicamente, concluímos que o conjunto
é linearmente dependente.
Passo 4
Para ver a dimensão do subespaço gerado, basta observar que
são funções já linearmente independentes (o seu Wronskiano não é identicamente zero). Logo, um sistema de geradores mínimos é
, e a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto original é
Resposta
O conjunto é linearmente dependente e a dimensão do subespaço que ele gera é 2.