Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. Como todas as funções abordadas são analíticas, o conjunto é linearmente dependente se e somente se o wronskiano for identicamente nulo. Calcule a dimensão do subespaço gerado por cada subconjunto de F.
\left\{e^{x}, e^{-x}, \operatorname{cosh} x\right\};

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto \{e^{x},\,e^{-x},\,\operatorname{cosh} x\}
no espaço vetorial F de todas as funções reais de variável real, usando o critério de Wronskiano para dependência/independência linear. Depois, devemos determinar a dimensão do subespaço que esse conjunto gera.

Passo 2

Lembrando que
\operatorname{cosh} x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2},
vemos imediatamente que \operatorname{cosh} x é combinação linear de e^{x} e e^{-x}. Em particular,
\operatorname{cosh} x = \tfrac12\,e^{x} + \tfrac12\,e^{-x}.
Isso mostra que há coeficientes não todos nulos (por exemplo a=1/2, b=1/2, c=-1) tais que
\tfrac12\,e^{x} + \tfrac12\,e^{-x} +(-1)\,\operatorname{cosh} x = 0
para todo x.

Passo 3

Como encontramos uma combinação linear não trivial que se anula identicamente, concluímos que o conjunto \{e^{x},e^{-x},\operatorname{cosh} x\} é linearmente dependente.

Passo 4

Para ver a dimensão do subespaço gerado, basta observar que \{e^{x},e^{-x}\} são funções já linearmente independentes (o seu Wronskiano não é identicamente zero). Logo, um sistema de geradores mínimos é \{e^{x},e^{-x}\}, e a dimensão do subespaço gerado pelo conjunto original é
\dim\bigl(\operatorname{span}\{e^{x},e^{-x},\operatorname{cosh} x\}\bigr) = 2.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente e a dimensão do subespaço que ele gera é 2.

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